1. Одной из наиболее важных динамических характеристик доменных границ (ДГ), движущихся в случайно-неоднородном одноосном магнетике под действием постоянного магнитного поля H, направленного вдоль оси анизотропии, является средняя скорость V. Обычно величина V находится путем решения соответствующего стохастического уравнения движения методом усреднения (см., например, [1-3]). Однако такой подход, основанный на разложении членов исходного уравнения движения по степеням разности между точным и усредненным по неоднородностям среды решениями, не является последовательным, поскольку при больших временах дисперсии этой разности, как правило, расходится. В данной работе развит новый подход к решению проблемы средней скорости движения ДГ в сильно диссипативных случайно-неоднородных магнетиках, позволяющий получить точное выражение для V. Он применим в случаях, когда стохастическое уравнение движения для мгновенной координаты ДГ xi(t) имеет вид xi(t)=mul[H+Gl(xi(t)r)+F(t)r]. (1) Здесь mu - подвижность ДГ [4], G(x) - однородная случайная функция, моделирующая влияние неоднородностей среды, а F(t) - гауссовский белый шум с нулевым средним значением и корреляционной функцией 2Delta delta(t-t') (Delta<=0 - интенсивность шума, delta(t) - delta-функция), моделирующий влияние тепловых флуктуаций среды. Положив H<=0 и xi(0)=y, определим среднюю скорость ДГ как V=l/< T(0)>, где T(y) - среднее время, которое необходимо ДГ, чтобы впервые попасть в точку с координатой x=l (l>0, y=< l) при заданной реализации случайной функции G(x), а угловые скобки обозначают усреднение по реализациям G(x). Согласно [5], T(y) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Delta T''(y)+mu[H+G(y)]T'(y)=-1. (2) Решая его с граничными условиями T(l)=T'(-бесконечность)=0 [6] и используя однородность случайной функции G(x), получаем искомое выражение для средней скорости ДГ V=Deltagl[ ^{бесконечность}₀exp (-(mu H)/(Delta)z)gl<exp gl(-(mu)/(Delta) ^z₀G(x)dx gr)gr> dzgr]^-1. (3) [!b] Реализация дискретных случайных функций r(x), принимающих значения 1 и -1 ( a) и значения из интервала (-1, 1) ( b). 2. Используя (3), вычислим V в случае, когда G(x)=H₀r(x), а r(x) - дискретная случайная функция, принимающая значения 1 и -1 (рис. 1, a). Пусть на интервале (0, z) случайная функция r(x) имеет n изменений знака в точках x_i=s₁+...+s_i (i=1,...,n), принадлежащих неперекрывающимся бесконечно малым интервалам ds_i, а плотность вероятности p₁(s) изменения знака r(x) в точке x зависит только от расстояния s между этой точкой и местом предыдущего изменения знака. Тогда вероятность всех реализаций r(x), которые в интервалах ds_i меняют знак, равна dWⁿ_z=p₀(s₁)p₁(s₂)... p₁(s_n)P₁(s_n+1) ds₁... ds_n. (4) Здесь s_n+1=z-x_n, p₀(s₁)=^{бесконечность}_s1(p₁(s)/s)ds - плотность вероятности того, что первое изменение знака функции r(x) на интервале (0, z) произойдет в точке x=s₁, а p₁(s_n+1)=^{бесконечность}_n+1p₁(s)ds - вероятность того, что (n+1)-е изменение знака r(x) произойдет за пределами интервала (0, z). Обозначив вероятность ^{бесконечность}_zp₀(s)ds тех реализаций r(x), которые на интервале (0, z) не изменяют знака, как P₀(z), получаем [b] g< expgl[&-beta^z₀ r(x)dxgr]g>= P₀(z)cos h(beta z) &+^{бесконечность}_n=1Omegaⁿz cos h gl(betaⁿ⁺¹_i=1(-1)ⁱS_igr)dWⁿ_z, (5) где beta=mu H₀/Delta, а Omegaⁿ_z - область интегрирования, определяемая условием x_n=< z. Подставим теперь (5) в (3) и преобразуем с помощью delta-функции delta(s₁+...+s_n+1-z) n-кратный интеграл по области Omegaⁿ_z в повторный по переменным s₁,...,s_n+1, изменяющимся в пределах от нуля до бесконечности. В результате, проинтегрировав по z, введя обозначения ( U^±_lambda [2mm] u^±_lambda )= ^{бесконечность}₀ e^{-x(alpha±beta)} ( P_lambda(x) [2mm] p_lambda(x) )dx    lambda=0, 1 (6) (alpha=mu H/Delta) и просуммировав ряды, сводящиеся к бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем u⁺₁u^-₁, при u⁺₁u^-₁<=1 получаем V=0, а при u⁺₁u^-₁<1 [b] V=& 2Delta gl[ U⁺₀ + U^-₀ [2mm] &+ (U⁺₁u^-₀+ U^-₁u⁺₀+ U⁺₁u⁺₀u^-₁+U^-₁u^-₀u⁺₁)/(1-u⁺₁u^-₁) gr]^-1. (7) Отметим, что условие u⁺₁u^-₁=1, рассматриваемое как уравнение относительно H, определяет поле динамической коэрцитивности ДГ H_c. В частном случае, когда p₁(s)=(1/r_c)exp(-s/r_c), имеем H_c=H₀[(1+b²)^1/2-1]/b, V=0 при H=< H_c и [b] V=&mu H₀ gl[ (b²)/(a²+2a-b²) gl((1+a+b)/((a+b)²) ln(1+a+b) [2mm] &- (1+a-b)/((a-b)²) ln(1+a-b)gr)+ (ab)/(a²-b²)gr]^-1 (8) (a=alpha r_c, b=beta r_c) при H>H_c. Согласно (8), V=mu H при H>> H_c и V=muchi(H-H_c) (chi<=1) при H-H_c<< H_c. В пределе низких температур (Delta->0) получаем H_c=H₀ и V=mu(H²-H²_c)/H (кривая 1 на рис. 2). Качественно такая же зависимость V от H с chi~2 была получена экспериментальным путем в пленках ферритов-гранатов [7]. В случае же, когда r_c->0, H₀->бесконечность, а H²₀r_c=const, отвечающем delta-коррелированной G(x), формула (8) дает известный результат [8,9] V=mu(H-H_c) (кривая 2 на рис. 2). 3. Пусть теперь r(x) - дискретная случайная функция с непрерывной областью значений (-1, 1) (рис. 1, b). Если плотность вероятности p₁(s) скачка случайной функции r(x) зависит только от расстояния s до предыдущего скачка, а плотность вероятности w(r) того, что r(x_i+0)=r (x_i - координаты скачков r(x) на интервале (0, z)), зависит только от r, то, поступая как в предыдущем разделе, находим V=(Delta(1-g₁))/(G₀(1-g₁)+G₁g₀) (9) при H>H_c и V=0 при H=< H_c, где H_c - решение уравнения g₁=1 относительно H, ( G_lambda [2mm] g_lambda )= ¹_-1^{бесконечность}₀ e^{-x(alpha+beta r)}w(r) ( P_lambda(x) [2mm] p_lambda(x) )dx dr. (10) [!t] Зависимости v=V/mu H_c от h=H/H_c, рассчитанные по формуле (8) при Delta=0 (1) и r_c->0, H₀->бесконечность, H²₀r_c=const (2), а также по формуле (11) при Delta=0 (3). Если усреднение в (3) проводить лишь по тем реализациям r(x), которые в начале координат имеют скачок, тогда нулевые индексы в (9) следует заменить на единичные. Полагая в этом случае, что w(r)=1/2 и p₁(s)=(1/r_c)exp(-s/r_c), получаем V=mu H₀ [2(ln(1+a+b)/(1+a-b))^-1-(1)/(b)] (11) и H_c=H₀(coth b-1/b). В пределе низких температур, формально отвечающем случаю r_c->бесконечность, имеем H_c=H₀ и V=2mu H_cln^-1l((H+H_c)/(H-H_c)r) (кривая 3 на рис. 2). Подобная зависимость V от H с chi>>1 наблюдалась, в частности, в [10]. Таким образом, для двух классов дискретных случайных функций G(x), моделирующих влияние неоднородностей магнетика, найдены точные выражения для средней скорости ДГ V и поля динамической коэрцитивности H_c. Показано, что поведение V как функции внешнего магнитного поля H при H~ H_c определяется статистическими характеристиками G(x), в том числе корреляционным радиусом r_c. Конечные (не равные нулю) значения r_c обусловливают наблюдаемую в эксперименте сильную зависимость V от H при H~ H_c.

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.