Издателям
Вышедшие номера
Средняя скорость доменных границ в случайно-неоднородных магнетиках
Денисов С.И.1
1Сумский государственный университет, Сумы, Украина
Поступила в редакцию: 30 июля 1996 г.
Выставление онлайн: 19 апреля 1997 г.

1. Одной из наиболее важных динамических характеристик доменных границ (ДГ), движущихся в случайно-неоднородном одноосном магнетике под действием постоянного магнитного поля H, направленного вдоль оси анизотропии, является средняя скорость V. Обычно величина V находится путем решения соответствующего стохастического уравнения движения методом усреднения (см., например, [1-3]). Однако такой подход, основанный на разложении членов исходного уравнения движения по степеням разности между точным и усредненным по неоднородностям среды решениями, не является последовательным, поскольку при больших временах дисперсии этой разности, как правило, расходится. В данной работе развит новый подход к решению проблемы средней скорости движения ДГ в сильно диссипативных случайно-неоднородных магнетиках, позволяющий получить точное выражение для V. Он применим в случаях, когда стохастическое уравнение движения для мгновенной координаты ДГ xi(t) имеет вид xi(t)=mul[H+Gl(xi(t)r)+F(t)r]. (1) Здесь mu --- подвижность ДГ [4], G(x) --- однородная случайная функция, моделирующая влияние неоднородностей среды, а F(t) --- гауссовский белый шум с нулевым средним значением и корреляционной функцией 2Delta delta(t-t') (Delta<=0 --- интенсивность шума, delta(t) --- delta-функция), моделирующий влияние тепловых флуктуаций среды. Положив H<=0 и xi(0)=y, определим среднюю скорость ДГ как V=l/< T(0)>, где T(y) --- среднее время, которое необходимо ДГ, чтобы впервые попасть в точку с координатой x=l (l>0, y=< l) при заданной реализации случайной функции G(x), а угловые скобки обозначают усреднение по реализациям G(x). Согласно [5], T(y) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Delta T''(y)+mu[H+G(y)]T'(y)=-1. (2) Решая его с граничными условиями T(l)=T'(-бесконечность)=0 [6] и используя однородность случайной функции G(x), получаем искомое выражение для средней скорости ДГ V=Deltagl[ бесконечность0exp (-(mu H)/(Delta)z)gl<exp gl(-(mu)/(Delta) z0G(x)dx gr)gr> dzgr]-1. (3) [!b] Реализация дискретных случайных функций r(x), принимающих значения 1 и -1 ( a) и значения из интервала (-1, 1) ( b). 2. Используя (3), вычислим V в случае, когда G(x)=H0r(x), а r(x) --- дискретная случайная функция, принимающая значения 1 и -1 (рис. 1, a). Пусть на интервале (0, z) случайная функция r(x) имеет n изменений знака в точках xi=s1+...+si (i=1,...,n), принадлежащих неперекрывающимся бесконечно малым интервалам dsi, а плотность вероятности p1(s) изменения знака r(x) в точке x зависит только от расстояния s между этой точкой и местом предыдущего изменения знака. Тогда вероятность всех реализаций r(x), которые в интервалах dsi меняют знак, равна dWnz=p0(s1)p1(s2)... p1(sn)P1(sn+1) ds1... dsn. (4) Здесь sn+1=z-xn, p0(s1)=бесконечностьs1(p1(s)/s)ds --- плотность вероятности того, что первое изменение знака функции r(x) на интервале (0, z) произойдет в точке x=s1, а p1(sn+1)=бесконечностьn+1p1(s)ds --- вероятность того, что (n+1)-е изменение знака r(x) произойдет за пределами интервала (0, z). Обозначив вероятность бесконечностьzp0(s)ds тех реализаций r(x), которые на интервале (0, z) не изменяют знака, как P0(z), получаем [b] g< expgl[&-betaz0 r(x)dxgr]g>= P0(z)cos h(beta z) &+бесконечностьn=1Omeganz cos h gl(betan+1i=1(-1)iSigr)dWnz, (5) где beta=mu H0/Delta, а Omeganz --- область интегрирования, определяемая условием xn=< z. Подставим теперь (5) в (3) и преобразуем с помощью delta-функции delta(s1+...+sn+1-z) n-кратный интеграл по области Omeganz в повторный по переменным s1,...,sn+1, изменяющимся в пределах от нуля до бесконечности. В результате, проинтегрировав по z, введя обозначения ( U±lambda [2mm] u±lambda )= бесконечность0 e-x(alpha±beta) ( Plambda(x) [2mm] plambda(x) )dx    lambda=0, 1 (6) (alpha=mu H/Delta) и просуммировав ряды, сводящиеся к бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем u+1u-1, при u+1u-1<=1 получаем V=0, а при u+1u-1<1 [b] V=& 2Delta gl[ U+0 + U-0 [2mm] &+ (U+1u-0+ U-1u+0+ U+1u+0u-1+U-1u-0u+1)/(1-u+1u-1) gr]-1. (7) Отметим, что условие u+1u-1=1, рассматриваемое как уравнение относительно H, определяет поле динамической коэрцитивности ДГ Hc. В частном случае, когда p1(s)=(1/rc)exp(-s/rc), имеем Hc=H0[(1+b2)1/2-1]/b, V=0 при H=< Hc и [b] V=&mu H0 gl[ (b2)/(a2+2a-b2) gl((1+a+b)/((a+b)2) ln(1+a+b) [2mm] &- (1+a-b)/((a-b)2) ln(1+a-b)gr)+ (ab)/(a2-b2)gr]-1 (8) (a=alpha rc, b=beta rc) при H>Hc. Согласно (8), V=mu H при H>> Hc и V=muchi(H-Hc) (chi<=1) при H-Hc<< Hc. В пределе низких температур (Delta->0) получаем Hc=H0 и V=mu(H2-H2c)/H (кривая 1 на рис. 2). Качественно такая же зависимость V от H с chi~2 была получена экспериментальным путем в пленках ферритов-гранатов [7]. В случае же, когда rc->0, H0->бесконечность, а H20rc=const, отвечающем delta-коррелированной G(x), формула (8) дает известный результат [8,9] V=mu(H-Hc) (кривая 2 на рис. 2). 3. Пусть теперь r(x) --- дискретная случайная функция с непрерывной областью значений (-1, 1) (рис. 1, b). Если плотность вероятности p1(s) скачка случайной функции r(x) зависит только от расстояния s до предыдущего скачка, а плотность вероятности w(r) того, что r(xi+0)=r (xi --- координаты скачков r(x) на интервале (0, z)), зависит только от r, то, поступая как в предыдущем разделе, находим V=(Delta(1-g1))/(G0(1-g1)+G1g0) (9) при H>Hc и V=0 при H=< Hc, где Hc --- решение уравнения g1=1 относительно H, ( Glambda [2mm] glambda )= 1-1бесконечность0 e-x(alpha+beta r)w(r) ( Plambda(x) [2mm] plambda(x) )dx dr. (10) [!t] Зависимости v=V/mu Hc от h=H/Hc, рассчитанные по формуле (8) при Delta=0 (1) и rc->0, H0->бесконечность, H20rc=const (2), а также по формуле (11) при Delta=0 (3). Если усреднение в (3) проводить лишь по тем реализациям r(x), которые в начале координат имеют скачок, тогда нулевые индексы в (9) следует заменить на единичные. Полагая в этом случае, что w(r)=1/2 и p1(s)=(1/rc)exp(-s/rc), получаем V=mu H0 [2(ln(1+a+b)/(1+a-b))-1-(1)/(b)] (11) и Hc=H0(coth b-1/b). В пределе низких температур, формально отвечающем случаю rc->бесконечность, имеем Hc=H0 и V=2mu Hcln-1l((H+Hc)/(H-Hc)r) (кривая 3 на рис. 2). Подобная зависимость V от H с chi>>1 наблюдалась, в частности, в [10]. Таким образом, для двух классов дискретных случайных функций G(x), моделирующих влияние неоднородностей магнетика, найдены точные выражения для средней скорости ДГ V и поля динамической коэрцитивности Hc. Показано, что поведение V как функции внешнего магнитного поля H при H~ Hc определяется статистическими характеристиками G(x), в том числе корреляционным радиусом rc. Конечные (не равные нулю) значения rc обусловливают наблюдаемую в эксперименте сильную зависимость V от H при H~ Hc.
  1. А.Н. Аверкин. ФТТ 23, 6, 1573 (1981)
  2. М.В. Фейгельман. ЖЭТФ 85, 5, 1851 (1983)
  3. С.И. Денисов, И.В. Суходольский. Докл. АН УССР 6, 59 (1991)
  4. А. Малоземов, Дж. Слонзуски. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами / Пер. с англ.; Под ред. Г.А. Смоленского, Р.В. Писарева. М. (1982). 384 с
  5. К.В. Гардинер. Стохастические методы в естественных науках / Пер. с англ.; Под ред. Р.Л. Стратоновича. М. (1986). 528 с
  6. S.I. Denisov. J. Magn. Mater. 147, 406 (1995)
  7. Ф.Г. Барьяхтар, А.М. Гришин, Ю.А. Кузин, Ю.В. Мелихов, А.М. Редченко. Письма в ЖТФ 14, 24, 2285 (1988)
  8. B. Derrida. J. Stat. Phys. 31, 3, 433 (1983)
  9. J.P. Bouchaud, A. Georges. Phys. Rep. 195, 4--5, 124 (1990)
  10. В.С. Горнаков, В.И. Никитенко, И.А. Прудников. Письма в ЖЭТФ 55, 1, 44 (1992)

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.