Вышедшие номера
Особенности туннелирования электронов кремния через окисный слой в сильном поле
Федирко В.А.1, Шадрин В.Д.1
1Московский государственный технологический университет, Москва, Россия
Поступила в редакцию: 12 июля 1996 г.
Выставление онлайн: 20 января 1997 г.

В последнее время активно исследуются микровакуумные устройства с полевым эмиттером [1-4] в качестве элементной базы нового класса интегральных электронных и электронно-оптических приборов. Одним из перспективных материалов для создания микрокатодных структур является кремний, позволяющий воспользоваться развитой групповой технологией [5,6]. Важнейшей характеристикой микрокатода служит его эмиссионная способность, которая определяется туннелированием электронов в сильном приповерхностном поле. При исследовании автоэлектронной эмиссии из кремния необходимо учитывать наличие на его поверхности тонкого слоя естественного окисла. Кроме того, в ряде случаев тонкая окисная пленка на поверхности кремниевого автокатода создается технологически для повышения его стабильности и долговечности [7]. Электрическое поле у эмитирующей поверхности превышает 107V/cm. В этих условиях заметную роль может играть туннелирование по состояниям, энергия которых в существенной области пространства лежит глубоко в запрещенной зоне окисла [8]. Адекватное описание таких состояний достигается в рамках четырехзонной модели [9]. При этом, однако, возникают проблемы сшивки огибающих блоховских функций на границах кремний--окисел и окисел--вакуум. Также требует анализа роль электронов различных долин кремния при туннелировании через заданную кристаллическую поверхность. Расчет туннелирования через сложный потенциальный барьер, возникающий в системе кремний--окисел--вакуум, для широкого диапазона энергией возможен, разумеется, только численно. В настоящей работе исследуются перечисленные проблемы и строится приближенная модель, учитывающая особенности туннелирования электронов проводимости кремния через тонкий окисный слой в сильном поле. На основе развитой модели был разработан алгоритм численного расчета туннельной прозрачности и рассчитывалась энергетическая зависимость туннельной прозрачности в широком диапазоне энергий для тянущих полей ~107-108 V/cm.!! break !! Приближенное уравнение для огибающей блоховской функции зоны проводимости окисла Будем рассматривать туннелирование с грани (001) кремния. Эта кристаллическая ориентация плоскости эмиттера обычно используется в реальных структурах. Если считать систему кремний--окисел трансляционно инвариантой в плоскости раздела, то в процессе туннелирования сохраняется с точностью до вектора обратной решетки составляющая волнового вектора электрона в плоскости раздела. Как известно, энергетические долины зоны проводимости кремния расположены вдоль кристаллографических осей [100], [010], [001]. Окисную пленку можно считать прямозонным полупроводником с энергией электронного сродства psiox=0.9 eV [10,11], запрещенной зоной Egox=9 eV и эффективной массой на дне зоны проводимости mox=(0.4-1.0)m0, где m0 --- масса свободного электрона [10-12]. Поэтому туннелирование без рассеяния импульса возможно лишь из двух эквивалентных долин, расположенных на оси [001]. В дальнейшем будут рассматриваться только электроны этих долин. Как будет показано далее, вклад остальных долин в туннелирование (с рассеянием импульса) мал. Роль последних сводится поэтому к переносу электронов к поверхности и их перераспределению. Исходя из изотропной четырехзонной модели [9], положим массу тяжелых дырок mhh=бесконечность и пренебрежем спин-орбитальным расщеплением. Для огибающих блоховских функций зоны прводимости _c( r)=(i k) _c(z) (1) и трех валентных подзон X, Y и Z типа симметрии _v( r)= [ _x(z) _y(z) _z(z) ] e^i k_allel (2) имеем систему уравнений [9] [b] &[E-V(z)] _c+i S div_v(r)=0, & [E+E_g-V(z)]_v+ i S grad_c=0. (3) !! break !! Здесь k_allel r=(,z), где --- радиус-вектор в плоскости слоя, z --- координата в перпендикулярном направлении, энергия E отсчитывается от дна зоны проводимости, S=E_gox/2m_ox, m_ox --- эффективная масса электрона на дне зоны проводимости окисла, V(z) --- потенциальная энергия. Вводя _allelx(z) _y(z) ] и выражая _z(z) и _allelc(z), получим из (3) после несложных преобразований [b] ^22m_ox &[E+E_gox-V(z)] ddz [2mm] & [d_c(z)dz (E+E_gox-V(z))^-1]+E^-1_gox      [2mm] & [(E-V(z))(E+E_gox-V(z)) [2mm] -&^2k^2_allelox E_gox]_c(z)=0. (4) В тех случаях, когда можно считать, что в существенных областях |ddz [(E+E_gox-V)] |d_cdz| |d^2_cdz^2| (5) уравнение (4) упрощается, получаем [b] &^22m_ox d^2_cdz^2 E^-1_gox [2mm] &[(E-V)(E+E_gox - V) -E_gox ^2k^2_allelox] _c=0. (6) Если отсчитывать энергию от середины запрещенной зоны E'=E+E_gox/2, (7) уравнение (6) перепишется в виде ^22m_ox& d^2_cdz^2     [2mm] & (E'-V(z))^2-(E^2_gox/4)- (E_gox^2k^2_allelox) E_gox_c=0. (8) Для E=E_gox/2 и V(z)=-eF_goxz, где F_ox --- электрическое поле в окисле, условие (5) можно заменить неравенством eF_oxeF_oxz+(E_gox/2) |k(z)| k^2(z), (9) где мы положили k(z)=F_oxz+E_gox/2- (^2S^2k^2/ S), считая для оценки _c(z)( k(z)dz). Оценивая (9) при k_alleloxz+(E_gox/2)) eF S, которое выполняется, если F_ox F_c=E^2_gox/4 S. (10) Для E_gox9 eV, m_ox m_0 критическое поле F_c710^8 V/cm. Поле в окисле в реальных автокатодах значительно меньше F_c, поэтому уравнения (6), (8) хорошо описывают процессы туннелирования через окисел. Эти уравнения содержат лишь одну волновую функцию _c(z), что значительно упрощает расчеты. Проблемы сшивки огибающих блоховских функций рассматривались в ряде работ [13-16]. Наиболее распространенный прием состоит в добавлении -образного потенциала, локализованного на границе раздела. Для рассматриваемой системы мы будем, следуя [13], использовать однородные граничные условия на поверхности раздела z=z_b как для границы кремний--окисел, так и для границы окисел--вакуум. В принятой геометрии они имеют вид _c(z)|_z_b-0= _c(z)|_z_b+0, 1m_z d_c(z)dz|_z_b-0= 1m_z d_c(z)dz|_z_b+0, (11) где m_z --- значение эффективной массы электрона по направлению z, соответственно слева от границы z=z_b-0 и справа от границы z=z_b+0. Расчет туннельной прозрачности Коэффициент туннелирования электронов кремния рассчитывается численно на основе уравнения (8), дополненного уравнениями для огибающей блоховской функции зоны проводимости кремния и уравнения Шредингера в вакууме с граничными условиями (11). Потенциал V(z) в вакууме задавался в простейшем случае в виде V(z)=-eF_z, где F --- тянущее электрическое поле у эмитирующей поверхности, в окисле --- в виде -eF_oxz. Программа расчета предусматривает также использование потенциала, учитывающего известным образом силы электрического изображения [17]. Влияние электрического поля, проникающего в полупроводник, на туннельную прозрачность не учитывается. [!tb] 0pt1 0pt1.8mm Энергетическая зависимость коэффициента туннелирования через окисный слой толщиной 1 mm. F (10^7 V/cm): a --- 2, b --- 4. 1 --- многозонная модель, 2 --- однозонная модель. [!t] Энергетическая зависимость коэффициента туннелирования через окисный слой толщиной 1.5 nm в поле F=210^7 V/cm. 1 --- многозонная модель, 2 --- однозонная модель. Для расчета коэффициента туннелирования известный метод [18] модифицировался для применения к исследуемой задаче. Особенность уравнения (8) по сравнению с обычным уравнением Шредингера состоит в том, что кинетическая энергия движения электрона в z-направлении не является простой аддитивной функцией полной и потенциальной энергии. Это требует изменения вычислительной процедуры. Модель и алгоритм легли в основу прикладного пакета программ "Барьер" для расчета туннельной прозрачности на IBM PC, разработанного О.И. Казьминым с участием одного из авторов (В.Ф.). На рис. 1, a,b и 2 показаны рассчитанные численно энергетические зависимости коэффициента туннелирования D() при различных значениях тянущего поля F для толщин окисла d=10 и 15 Angstrem для k_allelc(z) с той же эффективной массой m_ox и теми же условиями сшивки (11). [!b] Энергетическая схема туннелирования электронов кремния через окисный слой. Как видно из этих рисунков, значения коэффициента туннелирования, вычисленные в различных моделях, существенно отличаются: при не слишком больших энергиях разница достигает нескольких порядков. Указанные различия связаны с многозонной природой состояний туннелирующего электрона в запрещенной зоне окисла. Происходит эффективное "утяжеление" электрона, которое тем больше, чем глубже состояние расположено в запрещенной зоне. При малых энергиях состояние туннелирующего электрона в значительной части окисла лежит глубоко в запрещенной зоне, поэтому именно при этих энергиях многозонная модель (8) приводит к значительному уменьшению коэффициента туннельной прозрачности по сравнению с однозонной моделью. При больших энергиях это различие, естественно, уменьшается, так как уменьшается доля областей, где состояние туннелирующего электрона лежит глубоко в запрещенной зоне окисла (рис. 3). Обратим также внимание на то, что при больших тянущих полях в спектре коэффициента туннельной прозрачности возникают области немонотонности, которые, видимо, связаны со сложной формой барьера и наличием областей как надбарьерного, так и подбарьерного прохождения в некоторых диапазонах энергии. Оценка вероятности туннелирования с рассеянием импульса В настоящем разделе оценивается туннелирование из энергетических долин, расположенных на кристаллографических осях, параллельных эмитирующей поверхности. Оно возможно, как указывалось, лишь при рассеянии импульса с изменением компоненты волнового вектора в плоскости поверхности на величину порядка вектора обратной решетки. Учтем, например, переходы с испусканием фонона из рассматриваемых долин в состояния под центральной вышерасположенной долиной кремния с симметрией _2, совпадающей с симметрией зоны проводимости окисла. Туннельный ток определяется известным выражением I_1=2 e _ k | f|H_e-f|i|^2 (E_i-E_f-_0), (12) где H_e-f --- гамильтониан электрон-фононного взаимодействия через деформационный потенциал, f| и |i --- соответственно конечное и начальное состояния электрон-фононной системы, а E_f и E_i --- энергии электрона в этих состояниях, отсчитанные от дна зоны проводимости кремния, _0 --- частота фонона. Суммирование ведется по всем конечным состояниям электрона k. Огибающую блоховской функции электрона в начальном состоянии |i в кремнии выберем в виде _i(,z)=1 kze^i k_allel, где --- нормировочный объем, а в плоскости раздела кремний--окисел принято z=0. Для упрощения оценки при определении конечного состояния электрона пренебрежем электрическим полем в вакууме и используем квазиклассическое приближение в области окисла, считая, что во всем окисле E_f<E_cox, где E_cox --- дно зоны проводимости окисла. Тогда для волновой функции конечного состояния электрона можно положить & _f(,z)= 1 e^i k_allel [1mm] & C_1e^k'z,               z0, [2mm] C_2(^z_0k_ox(z')dz')+ C'_2(-^z_0k_ox(z')dz'),                      0<z<d, [2mm] (k_vz+),          z>d. (13) Здесь [b] &k'=2m'(E_0-E_f)+k^'2_allelox(z)= 2m_ox[ E_c+V(z)-E_f]/, [1mm] &k_v=2m_0[E_f-V(d)]/, (14) E_0 --- энергетический зазор между минимумами основных долин и упомянутой выше центральной долины, которую мы в целях упрощения считаем изотропной, m' --- эффективная масса электрона в этой долине, E_c --- высота барьера на границе кремний--окисел. Используя условие сшивки (11), получим при z<0 _f(,z)= A e^i k'+k'z, (15) где постоянная A равна A=2[1+^2]^-1/2 [1+]^-1 ^d_0k(z)dz, =m_0k_v/m_oxk_ox(0),    =m_oxk_v/m'k_ox(0). (16) Приближенное вычисление матричного элемента f|H_e-f|i приводит к следующей оценке туннельного тока (12): I_1=e E_c (E_0-E_i+_0)E_i m_oxm_d^3/2T_ox. (17) Здесь мы ввели стандартное время электрон-фононных столкновений [19] с деформационным потенциалом D_0, ^-1= D^2_0m^3/2E_i 2^3_0, (18) где m_d --- эффективная масса плотности состояний в зоне проводимости кремния, --- плотность кристаллического кремния, и квазиклассический коэффициент прозрачности окисного барьера [b] T_ox & = (1+)^-2(1+^2)^-1 &[(-2)^d^d_0 dz k_2(z)]k=0. (19) Для интересующих нас энергий оценка (17) дает J_1eT_ox. Для туннельного тока из долины, лежащей на оси [001], по порядку величины можно записать J_01 eE_iT_ox+J_1. (20) Отношение J_1/J_0 составляет для E_i kT J_1J_0 E_i10^-4, (21) если принять типичное значение 10^-11 s и T=300 K. Оценка (21) позволяет пренебречь непрямыми туннельными переходами из четырех долин по осям [100] и [010], что было сделано в разделе 2. Таким образом, проведенные расчеты показывают, что полевая эмиссия с грани [001] кремния через окисный слой осуществляется из двух долин, расположенных вдоль направления [001]. Величина и спектр коэффициента туннельной прозрачности существенным образом определяются сложной структурой состояний в запрещенной зоне окисла и должны вычисляться исходя из четырехзонного приближения. Расчет по стандартной модели эффективной массы дает сильно завышенные значения туннельной прозрачности, так как не учитывает эффективного "утяжеления" электрона при туннелировании по состояниям глубоко в запрещенной зоне. Авторы благодарят О.И. Казьмина за выполнение численных расчетов. Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 95-01-00384).
  1. C. Spindt, C. Holland, R. Stowell. Appl. Surf. Sci. 16, 268 (1983)
  2. K. Betsui. Tech. Dig. of IVMC-91. Nagahama (1991). P. 26
  3. R. Meyer. Ibid. P. 6
  4. J. Browing. Techn Digest of 8th IVMC (Portland, Oregon, USA, July 30-Aug.3, 1995). P. 1--4
  5. Y. Toma, S. Kanemaru, J. Itoh. Ibid. P. 9--13
  6. G.G. Lee, H.Y. Ahn, J.D. Lee, H.S. Park. Ibid. P. 14--16
  7. D.V. Eremtchenko, V.I. Makhov. Surf. Sci. 266, 63 (1992)
  8. В.А. Федирко. В кн.: Тез. докл. IV Всерос. науч.-техн. конф. "Физика окисных пленок". Петрозаводск (1994). С. 76
  9. Л.В. Келдыш. Глубокие уровни в полупроводниках. ЖЭТФ 45, 2(8), 364 (1983)
  10. M. Lenzlinger, E.H. Snow. J. Appl. Phys. 40, 278 (1963)
  11. А.П. Ковговцев. ФТТ 21, 10, 3055 (1979)
  12. J. Moserjiam. J. Vac. Sci. Tech. 11, 6, 996 (1974)
  13. T. Ando, S. Mori. Surf. Sci. 113, 124 (1982)
  14. В.А. Волков, Т.Н. Пинскер. ЖЭТФ 70, 76, 2268 (1974)
  15. Qi-Gao Zhu, H. Kroemer. Phys. Rev. B 27, 6, 3519 (1983)
  16. В.Д. Шадрин. ФТП 24, 3, 456 (1990)
  17. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. ФМ, М. (1959). С. 60
  18. J. Ando, T. Itoh. J. Appl. Phys., 4, 1497 (1987)
  19. В.Л. Бонч-Бруевич, С.Т. Калашников. Физика полупроводников. Наука, М. (1977). С. 473

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.