В последнее время активно исследуются микровакуумные устройства с полевым эмиттером [1-4] в качестве элементной базы нового класса интегральных электронных и электронно-оптических приборов. Одним из перспективных материалов для создания микрокатодных структур является кремний, позволяющий воспользоваться развитой групповой технологией [5,6]. Важнейшей характеристикой микрокатода служит его эмиссионная способность, которая определяется туннелированием электронов в сильном приповерхностном поле. При исследовании автоэлектронной эмиссии из кремния необходимо учитывать наличие на его поверхности тонкого слоя естественного окисла. Кроме того, в ряде случаев тонкая окисная пленка на поверхности кремниевого автокатода создается технологически для повышения его стабильности и долговечности [7]. Электрическое поле у эмитирующей поверхности превышает 10⁷V/cm. В этих условиях заметную роль может играть туннелирование по состояниям, энергия которых в существенной области пространства лежит глубоко в запрещенной зоне окисла [8]. Адекватное описание таких состояний достигается в рамках четырехзонной модели [9]. При этом, однако, возникают проблемы сшивки огибающих блоховских функций на границах кремний-окисел и окисел-вакуум. Также требует анализа роль электронов различных долин кремния при туннелировании через заданную кристаллическую поверхность. Расчет туннелирования через сложный потенциальный барьер, возникающий в системе кремний-окисел-вакуум, для широкого диапазона энергией возможен, разумеется, только численно. В настоящей работе исследуются перечисленные проблемы и строится приближенная модель, учитывающая особенности туннелирования электронов проводимости кремния через тонкий окисный слой в сильном поле. На основе развитой модели был разработан алгоритм численного расчета туннельной прозрачности и рассчитывалась энергетическая зависимость туннельной прозрачности в широком диапазоне энергий для тянущих полей ~10⁷-10⁸ V/cm.!! break !! Приближенное уравнение для огибающей блоховской функции зоны проводимости окисла Будем рассматривать туннелирование с грани (001) кремния. Эта кристаллическая ориентация плоскости эмиттера обычно используется в реальных структурах. Если считать систему кремний-окисел трансляционно инвариантой в плоскости раздела, то в процессе туннелирования сохраняется с точностью до вектора обратной решетки составляющая волнового вектора электрона в плоскости раздела. Как известно, энергетические долины зоны проводимости кремния расположены вдоль кристаллографических осей [100], [010], [001]. Окисную пленку можно считать прямозонным полупроводником с энергией электронного сродства psi_ox=0.9 eV [10,11], запрещенной зоной E_gox=9 eV и эффективной массой на дне зоны проводимости m_ox=(0.4-1.0)m₀, где m₀ - масса свободного электрона [10-12]. Поэтому туннелирование без рассеяния импульса возможно лишь из двух эквивалентных долин, расположенных на оси [001]. В дальнейшем будут рассматриваться только электроны этих долин. Как будет показано далее, вклад остальных долин в туннелирование (с рассеянием импульса) мал. Роль последних сводится поэтому к переносу электронов к поверхности и их перераспределению. Исходя из изотропной четырехзонной модели [9], положим массу тяжелых дырок m_hh=бесконечность и пренебрежем спин-орбитальным расщеплением. Для огибающих блоховских функций зоны прводимости _c( r)=(i k) _c(z) (1) и трех валентных подзон X, Y и Z типа симметрии _v( r)= [ _x(z) _y(z) _z(z) ] e^i k_allel (2) имеем систему уравнений [9] [b] &[E-V(z)] _c+i S div_v(r)=0, & [E+E_g-V(z)]_v+ i S grad_c=0. (3) !! break !! Здесь k_allel r=(,z), где - радиус-вектор в плоскости слоя, z - координата в перпендикулярном направлении, энергия E отсчитывается от дна зоны проводимости, S=E_gox/2m_ox, m_ox - эффективная масса электрона на дне зоны проводимости окисла, V(z) - потенциальная энергия. Вводя _allelx(z) _y(z) ] и выражая _z(z) и _allelc(z), получим из (3) после несложных преобразований [b] ^22m_ox &[E+E_gox-V(z)] ddz [2mm] & [d_c(z)dz (E+E_gox-V(z))^-1]+E^-1_gox      [2mm] & [(E-V(z))(E+E_gox-V(z)) [2mm] -&^2k^2_allelox E_gox]_c(z)=0. (4) В тех случаях, когда можно считать, что в существенных областях |ddz [(E+E_gox-V)] |d_cdz| |d^2_cdz^2| (5) уравнение (4) упрощается, получаем [b] &^22m_ox d^2_cdz^2 E^-1_gox [2mm] &[(E-V)(E+E_gox - V) -E_gox ^2k^2_allelox] _c=0. (6) Если отсчитывать энергию от середины запрещенной зоны E'=E+E_gox/2, (7) уравнение (6) перепишется в виде ^22m_ox& d^2_cdz^2     [2mm] & (E'-V(z))^2-(E^2_gox/4)- (E_gox^2k^2_allelox) E_gox_c=0. (8) Для E=E_gox/2 и V(z)=-eF_goxz, где F_ox - электрическое поле в окисле, условие (5) можно заменить неравенством eF_oxeF_oxz+(E_gox/2) |k(z)| k^2(z), (9) где мы положили k(z)=F_oxz+E_gox/2- (^2S^2k^2/ S), считая для оценки _c(z)( k(z)dz). Оценивая (9) при k_alleloxz+(E_gox/2)) eF S, которое выполняется, если F_ox F_c=E^2_gox/4 S. (10) Для E_gox9 eV, m_ox m_0 критическое поле F_c710^8 V/cm. Поле в окисле в реальных автокатодах значительно меньше F_c, поэтому уравнения (6), (8) хорошо описывают процессы туннелирования через окисел. Эти уравнения содержат лишь одну волновую функцию _c(z), что значительно упрощает расчеты. Проблемы сшивки огибающих блоховских функций рассматривались в ряде работ [13-16]. Наиболее распространенный прием состоит в добавлении -образного потенциала, локализованного на границе раздела. Для рассматриваемой системы мы будем, следуя [13], использовать однородные граничные условия на поверхности раздела z=z_b как для границы кремний-окисел, так и для границы окисел-вакуум. В принятой геометрии они имеют вид _c(z)|_z_b-0= _c(z)|_z_b+0, 1m_z d_c(z)dz|_z_b-0= 1m_z d_c(z)dz|_z_b+0, (11) где m_z - значение эффективной массы электрона по направлению z, соответственно слева от границы z=z_b-0 и справа от границы z=z_b+0. Расчет туннельной прозрачности Коэффициент туннелирования электронов кремния рассчитывается численно на основе уравнения (8), дополненного уравнениями для огибающей блоховской функции зоны проводимости кремния и уравнения Шредингера в вакууме с граничными условиями (11). Потенциал V(z) в вакууме задавался в простейшем случае в виде V(z)=-eF_z, где F - тянущее электрическое поле у эмитирующей поверхности, в окисле - в виде -eF_oxz. Программа расчета предусматривает также использование потенциала, учитывающего известным образом силы электрического изображения [17]. Влияние электрического поля, проникающего в полупроводник, на туннельную прозрачность не учитывается. [!tb] 0pt1 0pt1.8mm Энергетическая зависимость коэффициента туннелирования через окисный слой толщиной 1 mm. F (10^7 V/cm): a - 2, b - 4. 1 - многозонная модель, 2 - однозонная модель. [!t] Энергетическая зависимость коэффициента туннелирования через окисный слой толщиной 1.5 nm в поле F=210^7 V/cm. 1 - многозонная модель, 2 - однозонная модель. Для расчета коэффициента туннелирования известный метод [18] модифицировался для применения к исследуемой задаче. Особенность уравнения (8) по сравнению с обычным уравнением Шредингера состоит в том, что кинетическая энергия движения электрона в z-направлении не является простой аддитивной функцией полной и потенциальной энергии. Это требует изменения вычислительной процедуры. Модель и алгоритм легли в основу прикладного пакета программ "Барьер" для расчета туннельной прозрачности на IBM PC, разработанного О.И. Казьминым с участием одного из авторов (В.Ф.). На рис. 1, a,b и 2 показаны рассчитанные численно энергетические зависимости коэффициента туннелирования D() при различных значениях тянущего поля F для толщин окисла d=10 и 15 Angstrem для k_allelc(z) с той же эффективной массой m_ox и теми же условиями сшивки (11). [!b] Энергетическая схема туннелирования электронов кремния через окисный слой. Как видно из этих рисунков, значения коэффициента туннелирования, вычисленные в различных моделях, существенно отличаются: при не слишком больших энергиях разница достигает нескольких порядков. Указанные различия связаны с многозонной природой состояний туннелирующего электрона в запрещенной зоне окисла. Происходит эффективное "утяжеление" электрона, которое тем больше, чем глубже состояние расположено в запрещенной зоне. При малых энергиях состояние туннелирующего электрона в значительной части окисла лежит глубоко в запрещенной зоне, поэтому именно при этих энергиях многозонная модель (8) приводит к значительному уменьшению коэффициента туннельной прозрачности по сравнению с однозонной моделью. При больших энергиях это различие, естественно, уменьшается, так как уменьшается доля областей, где состояние туннелирующего электрона лежит глубоко в запрещенной зоне окисла (рис. 3). Обратим также внимание на то, что при больших тянущих полях в спектре коэффициента туннельной прозрачности возникают области немонотонности, которые, видимо, связаны со сложной формой барьера и наличием областей как надбарьерного, так и подбарьерного прохождения в некоторых диапазонах энергии. Оценка вероятности туннелирования с рассеянием импульса В настоящем разделе оценивается туннелирование из энергетических долин, расположенных на кристаллографических осях, параллельных эмитирующей поверхности. Оно возможно, как указывалось, лишь при рассеянии импульса с изменением компоненты волнового вектора в плоскости поверхности на величину порядка вектора обратной решетки. Учтем, например, переходы с испусканием фонона из рассматриваемых долин в состояния под центральной вышерасположенной долиной кремния с симметрией _2, совпадающей с симметрией зоны проводимости окисла. Туннельный ток определяется известным выражением I_1=2 e _ k | f|H_e-f|i|^2 (E_i-E_f-_0), (12) где H_e-f - гамильтониан электрон-фононного взаимодействия через деформационный потенциал, f| и |i - соответственно конечное и начальное состояния электрон-фононной системы, а E_f и E_i - энергии электрона в этих состояниях, отсчитанные от дна зоны проводимости кремния, _0 - частота фонона. Суммирование ведется по всем конечным состояниям электрона k. Огибающую блоховской функции электрона в начальном состоянии |i в кремнии выберем в виде _i(,z)=1 kze^i k_allel, где - нормировочный объем, а в плоскости раздела кремний-окисел принято z=0. Для упрощения оценки при определении конечного состояния электрона пренебрежем электрическим полем в вакууме и используем квазиклассическое приближение в области окисла, считая, что во всем окисле E_f<E_cox, где E_cox - дно зоны проводимости окисла. Тогда для волновой функции конечного состояния электрона можно положить & _f(,z)= 1 e^i k_allel [1mm] & C_1e^k'z,               z0, [2mm] C_2(^z_0k_ox(z')dz')+ C'_2(-^z_0k_ox(z')dz'),                      0<z<d, [2mm] (k_vz+),          z>d. (13) Здесь [b] &k'=2m'(E_0-E_f)+k^'2_allelox(z)= 2m_ox[ E_c+V(z)-E_f]/, [1mm] &k_v=2m_0[E_f-V(d)]/, (14) E_0 - энергетический зазор между минимумами основных долин и упомянутой выше центральной долины, которую мы в целях упрощения считаем изотропной, m' - эффективная масса электрона в этой долине, E_c - высота барьера на границе кремний-окисел. Используя условие сшивки (11), получим при z<0 _f(,z)= A e^i k'+k'z, (15) где постоянная A равна A=2[1+^2]^-1/2 [1+]^-1 ^d_0k(z)dz, =m_0k_v/m_oxk_ox(0),    =m_oxk_v/m'k_ox(0). (16) Приближенное вычисление матричного элемента f|H_e-f|i приводит к следующей оценке туннельного тока (12): I_1=e E_c (E_0-E_i+_0)E_i m_oxm_d^3/2T_ox. (17) Здесь мы ввели стандартное время электрон-фононных столкновений [19] с деформационным потенциалом D_0, ^-1= D^2_0m^3/2E_i 2^3_0, (18) где m_d - эффективная масса плотности состояний в зоне проводимости кремния, - плотность кристаллического кремния, и квазиклассический коэффициент прозрачности окисного барьера [b] T_ox & = (1+)^-2(1+^2)^-1 &[(-2)^d^d_0 dz k_2(z)]k=0. (19) Для интересующих нас энергий оценка (17) дает J_1eT_ox. Для туннельного тока из долины, лежащей на оси [001], по порядку величины можно записать J_01 eE_iT_ox+J_1. (20) Отношение J_1/J_0 составляет для E_i kT J_1J_0 E_i10^-4, (21) если принять типичное значение 10^-11 s и T=300 K. Оценка (21) позволяет пренебречь непрямыми туннельными переходами из четырех долин по осям [100] и [010], что было сделано в разделе 2. Таким образом, проведенные расчеты показывают, что полевая эмиссия с грани [001] кремния через окисный слой осуществляется из двух долин, расположенных вдоль направления [001]. Величина и спектр коэффициента туннельной прозрачности существенным образом определяются сложной структурой состояний в запрещенной зоне окисла и должны вычисляться исходя из четырехзонного приближения. Расчет по стандартной модели эффективной массы дает сильно завышенные значения туннельной прозрачности, так как не учитывает эффективного "утяжеления" электрона при туннелировании по состояниям глубоко в запрещенной зоне. Авторы благодарят О.И. Казьмина за выполнение численных расчетов. Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 95-01-00384).

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.