Рассматривается простая модель генерации звука при сухом трении, учитывающая "подпрыгивание" нагрузки, т. е. ее колебания, перпендикулярные к плоскости скольжения. Устанавливается, что при дозвуковых скоростях скольжения именно "подпрыгивание" обусловливает излучение акустических волн со сложной и нерегулярной скоростной зависимостью. 1. Единственным простым, общим и надежным результатом, установленным за тысячелетия исследований сухого трения, является эмпирический закон Амонтона-Кулона, утверждающий пропорциональность силы трения величине статической нормальной нагрузки [1]. Поэтому естествен интерес к теоретическому описанию самого процесса сухого трения и сопутствующих ему эффектов на основе простых моделей. Особенного внимания заслуживает работа Е. Адировича и Д. Блохинцева [2], предпринявших смелую попытку элементарного описания сухого трения в рамках линейной теории идеальной упругости. Механизмом трения в [2] было излучение звука из зоны контакта. 2. Проследим сначала ход мыслей в [2]. Рассмотрим два полубесконечных идеально-упругих тела с периодическими шероховатостями, из которых одно движется относительно другого с дозвуковой скоростью скольжения v, не контактируя с ним непосредственно (рис. 1). Взаимодействие осуществляется посредством статических (например, молекулярных) сил, действующих между поверхностями тел. Важен лишь линейный характер этого взаимодействия. Первый, нетривиальный шаг работы [2] состоит в замене действия двужущегося тела на неподвижное эквивалентной нагрузкой, периодической по координате x и времени, но приложенной уже не к шероховатому телу, а к поверхности полупространства z>0. Второй шаг состоит в вычислении мощности W волн, излучаемых в полупространство z>0, а третий - в приравнивании W=F· v, (1) гле F называется силой сухого трения. Оказывается, что при малых скоростях скольжения звук излучается в основном осциллирующими модами нагрузки, отвечающими нормальным и тангенциальным колебаниям поверхности z=0, а излучаемая мощность оказывается практически не зависящей от v. Отсюда следует по меньшей мере удивительный результат F~ (1)/(v),      v-> 0. (2) [!b] [scale=1.05]23140-1.eps Начальная модель контакта в работе Е. Адировича и Д. Блохинцева. [!b] [scale=1.05]23140-2.eps Рассматриваемая модель контакта. Первый из описанных шагов не может быть сделан без значительных натяжек, которых можно избежать в упрощенной модели контакта (рис. 2). Простота эта оказывается чрезмерной: такая модель вообще не описывает генерации звука при дозвуковых скоростях скольжения. Дело, однако, качественно изменяется при учете "подпрыгивания" нагрузки, т. е. колебаний ее, перпендикулярных к плоскости скольжения. "Подпрыгивание", как считается (см. [3] и цитированную там литературу), всегда сопутствует сухому трению. 3. Будем представлять себе одно из трущихся тел как однородное идеально-упругое полупространство z>0, вдоль поверхности которого в направлении оси x с постоянной скоростью скольжения v перемещается абсолютно жесткая нагрузка (рис. 2). Процесс не зависит от координаты y. Нагрузка, периодически шероховатая с периодом 2L, по-прежнему действует на тело посредством поверхностных сил. Суть дела можно понять, описывая процессы при z>0 скалярным уравнением mu g( (d²u)/(d x²)+ (d²u)/(d z²) g) -rho (d²u)/(d t²)=0, (3) где mu - модуль упругости среды, rho - ее плотность. 4. Сначала рассмотрим нагрузку, движущуюся без "подпрыгивания". Ее действие моделируется граничным условием mu(d u)/(d z) g|_z=0 =f(x-vt), (4) где функция f(x-vt), периодическая с периодом 2L, определяется структурой шероховатостей и видом поверхностных сил. Рассмотрим в качестве нагрузки одну из гармоник функции f f(x-vt)=A_mexp [ i Xi_m(x-vt) ], (5) A_m=const; Xi_m=(mpi)/L; m=0, 1,... . Решение задачи (3)-(5) имеет вид u=(A_m)/(imuzeta_m) exp i [ Xi_m(x-vt)+zeta_mz ], (6) где zeta_m=i Xi_m sqrt( 1-(v²)/(c²) )sqrt c=sqrt(mu/rho)sqrt - скорость звука в модели. В интересном для подавляющего большинства приложений случае дозвуковой скорости скольжения v<c (8) zeta_m чисто мнимо. Волновой процесс имеет при этом поверхностный характер и не сопровождается излучением звука внутрь тела. Это, очевидно, справедливо и для задачи (4), (5) с любой периодической по x-vt нагрузкой. 5. Рассмотрим теперь задачу с движущейся и одновременно гармонически "подрыгивающей" нагрузкой вида mu(d u)/(d z) |_z=0 =exp(-iOmega t)f(x-vt), (9) где f(x-vt) - по-прежнему периодическая функция своего аргумента, Omega - круговая частота "подпрыгиваний". Связи между Omega и периодом шероховатостей мы не предполагаем. Сперва ограничимся одной гармоникой функции f. Решение задачи (3), (4), (9) имеет вид u=(A_m)/(imu Z_m) exp i [ Xi_m(x-vt)+Z_mz-Omega t ], (10) где Z_m=(i)/(c) sqrt( c²Xi²_m-(Omega+vXi_m)² )sqrt Излучение звука в глубь тела m-й модой "подпрыгивающей" нагрузки происходит, если Z_m вещественно, т. е. при v>v_m, где v_m - соответствующая критическая скорость v_m=c-(Omega)/(Xi_m) =c-(Omega L)/(mpi), (12) которая меньше звуковой. Для m=0 рассматриваемая мода излучает звук при сколь угодно малых v. [!b] [scale=1.1]23140-3.eps Суммарная удельная мощность излучаемого звука. а - без "подпрыгивания", б - с "подпрыгиванием". 6. Плотность мощности излучаемого звука, усредненная по периоду шероховатостей и по времени, для нагрузки вида (9) в дозвуковом случае (7), как можно показать, равна w=_{0=< m=< (Omega L)/(pi(c-v))} (Xi_mv+Omega)/(mu Z_m) |A_m|², (13) где A_m - коэффициенты Фурье функции f. Рис. 3 демонстрирует нерегулярную зависимость W от скорости скольжения. Мощность, уносимая модой с m=0, отвечающей "подпрыгиванию" без скольжения, не зависит от v. Волны, соответствующие модам с m# 0, уносят энергию из зоны контакта при v>v_m, причем вклад, вносимый каждой из них в излучаемую мощность, спадает с ростом v, стремясь к асимптоте (c/mu)|A_m|². Введение поглощения (например, путем рассмотрения комплексных mu) делает пики при v=v_m (рис. 3) конечными. 7. Таким образом, включение в модель "подпрыгивания" позволяет объяснить ряд черт, наблюдаемых при излучении звука в процессе сухого трения, в частности сложную и нерегулярную зависимость излучаемой мощности от скорости скольжения. Рассмотрение более сложных линейных моделей упругого тела [4] меняет ряд деталей, но сохраняет сделанные выше качественные выводы о роли "подпрыгивания". 8. В случае упругого аналога модели рис. 2 без учета "подпрыгивания" нагрузки генерация звука при дозвуковых скоростях скольжения отсутствует и W=0. Если же "подпрыгивание" учитывается, то при небольших v звук излучается исключительно аналогом нулевой моды нагрузки (9), причем W не зависит от v (и не исчезает при v=0). Поэтому величина F, введенная формально посредством (2), никак не может интерпретироваться как касательная сила трения. Таким образом, работа [2] не дает описания консервативного механизма сухого трения, хотя и содержит интересный подход к описанию излучения звука. В заключение авторы приносят благодарность Э.Л. Аэро, которому обязаны мыслью о рассмотрении "подпрыгивания", и С.В. Крысову за обсуждение проблем сухого трения. Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ N 95-02-05360.

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.