Вышедшие номера
Теплопроводность за пределами закона Фурье
Жмакин А.И.1
1Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург, Россия
Email: a.zhmakin0@gmail.com
Поступила в редакцию: 18 июня 2020 г.
В окончательной редакции: 18 июля 2020 г.
Принята к печати: 21 июля 2020 г.
Выставление онлайн: 11 сентября 2020 г.

Закон Фурье адекватно описывает теплоперенос в большинстве практических макроскопических задач. Однако в случаях теплообмена в быстропротекающих процессах, теплопереноса на микро- и наномасштабах, теплообмена в материалах с внутренней структурой (пористые среды, биологические ткани) требуются иные модели, учитывающие нелинейные эффекты, а также временную (память) и пространственную нелокальность. Рассмотрены такие модели, включая модели с задержкой, фононные и термодинамические модели, а также модели, использующие дифференциальные уравнения в дробных производных. Ключевые слова: закон Фурье, DPL-модель, термоперенос, термодинамические и дробные модели, релаксон.
  1. J. Lebon, H. Machraft, M. Grmela, C. Debois. Proc. R. Soc. A, 467, 3241 (2011)
  2. B.J. Cao, Z.Y. Guo. Appl. Phys., 102, 053503 (2007)
  3. M. Chester. Phys. Rev., 131, 2013 (1963)
  4. R.F. Hu, B.Y. Cao. Sci. Chine Ser. E: Technol. Sci., 52, 1786 (2009)
  5. J.B. Brown, D.Y. Chung, P.W. Matthews. Phys. Lett. 21, 241 (1966)
  6. K.K. Tamma, X.J. Zhou. Thermal Stresses, 21, 405 (1998)
  7. C.C. Ackerman, W.C. Overton. Phys. Rev. Lett., 22, 764 (1969)
  8. T.F. McNelly, S.J. Rogers, D.J. Channin, R. Rollefson, W.M. Goubau, G.E. Schmidt, J.A. Krumhansl, R.O. Pohl. Phys. Rev. Lett. 24, 100 (1970)
  9. H. Jackson, C.I. Walker. Phys. Rev. B, 3, 1428 (1971)
  10. R. Kovacs, P. Van. arXiv: 1708.09770 [cond-mat.stat-mech], (2017)
  11. V. Narayanamurti, R.C. Dynes. Phys. Rev. Lett., 28, 1461 (1972)
  12. M. Simoncelli, N. Marzari, A. Cepellotti. Phys. Rev. X, 10, 011019 (2020)
  13. S. Huberman, R.A. Duncan, K. Chen, B. Song, V. Chiloyan, Z. Ding, A.A. Maznev, G. Chen, K.A. Nelson. Science, 364, 375 (2019)
  14. D. Sands. In Heat Transfer --- Engineering Applications, (Edit.V. Vikhrenko), (InTech, 2011)
  15. A. Bannerjee, A.A. Ogale, C. Das, K. Mitra, C. Subranian. Heat Transfer Eng., 26, 41 (2005)
  16. H.L. Lee, W.L. Chen, W.J. Chang, E.J. Wei, Y.C. Yang. Appl. Themal Eng. 52, 275 (2013)
  17. D.Y. Ho, M.Y. Wen, B.C. Chen, Y.H. Tsai. J. Nanosci. Nanotechnol., 14, 1 (2014)
  18. Y.D. Mao, M.T. Xu. Sci. China Tech. Sci., 58, 1 (2015)
  19. Z. Shomali, A. Abbassi. Int. J. Thermal Sci., 83, 56 (2014)
  20. A.M. Mullis. Int. J. Heat Mass Transfer ., 40, 4085 (1997)
  21. R. Hilfer. Chem. Phys., 284, 399 (2002)
  22. P. Van, A. Berezovski, T. Fulop, G. Grof, R. Kovacs, A. Lovas, J. Verhas. arXiv: 1704.00341 [cond-mat.stat-mech], (2017)
  23. D.G. Cahill, W.K. Ford, K.E. Goodson, G.D. Mahan, A. Majumdar, H.J. Maris, R. Merlin, S.R. Phillpot. J. Appl. Phys., 93, 793 (2003)
  24. Z.M. Zhang. Nano/Microscale Heat Transfer. (McGraw-Hill, N.Y., 2007)
  25. D.G. Cahill, P.V. Braun, G. Chen, D.R. Clark, S. Fan, K.E. Goodson, P. Keblinski, W.P. King, G.D. Mahan, A. Majumdar, H.J. Maris, S.R. Phillpot, E. Pop, L. Shi. Appl. Phys. Rev., 1, 011305 (2014)
  26. В.И. Хвесюк, А.С. Скрябин. ТВТ, 55, 447 (2017)
  27. S. Sinba, K.E. Goodson. J. Microel. J., 37, 1148 (2006)
  28. B. Vermeersch, G. De May. Analog. Integr. Circ. Sig. Process., 55, 197 (2008)
  29. K. Raleva, D. Vasileska, S.M. Goodnick, M. Nedjalkov. IEEE Trans. Electron Devices 55, 1306 (2008)
  30. T. Raszkowski, A. Samson. Comput. Sci., 18, 71 (2017)
  31. P.G. Sverdrup, S. Sinha, M. Asheghi, S. Uma, K.E. Goodson. Appl. Phys. Lett. 78, 3331 (2001)
  32. P.G. Sverdrup, Y. Sungtaek, K.E. Goodson. Trans. ASME, 123, 130 (2001)
  33. E. Pop, S. Sinha, K.E. Goodson. Proc. IEEE, 94, 1587 (2006)
  34. E. Pop, K.E. Goodson. J. Electron. Packag., 128, 102 (2006)
  35. M.G. Kanatdzikis. Chem. Mater., 22, 648 (2009)
  36. F. Vazqurz, P. Van, R. Kovacs. Entropy, 22, 167 (2020)
  37. П.П. Волосевич, Н.В. Змитренко, Е.И. Леванов, Е.В. Северина. Матем. Модел., 20, 57 (2008)
  38. K.A. Velizhanin, C.C. Chien, Y. Dubi, M. Zwolak. arXiv: 1101.002 [cond-mat.mes-hall], (2011).
  39. K.M. Hoogeboom-Pot, J.N. Hernandez-Charpak, X. Gu, T.D. Frazer, E.H. Anderson, W. Chao, R.W. Falcone, R. Yang, M.M. Murnane, H.C. Kapteyn, D. Nardi. PNAS, 112, 4846 (2015)
  40. A. Grassman, F. Peters. Heat Mass Transfer, 35, 289 (1999)
  41. J. Ordonez-Miranda, J.J. Alvarado-Gill. Granular Mater., 12, 569 (2010)
  42. F.X. Alvarez, V.A. Cimmelli, A. Sellitto. Nanosc. Systems, 1, 112 (2012)
  43. K.C. Liu, P.J. Chen. J. Thermophys. Heat Transfer, 22, 775 (2008)
  44. A.I. Zhmakin. Fundamentals of Cryobiology. Physical phenomena and mathematical models. (Springer Series "Biological and Medical Physics"), (Springer, Berlin, 2009)
  45. H. Ahmadikia, A. Moradi. Heat Mass Transfer, 48, 1559 (2012)
  46. D.F. Stranges, R.E. Khayat, B. Albaalbaki. Int. J. Thermal Sci., 74, 14 (2013)
  47. D.F. Singh, S. Kumar. Math. Model. Anal., 20, 443 (2015)
  48. C.B. Sobban, S. Thomas, G.P. Peterson. Adv. Nanomater., 2, 41 (2017)
  49. A.I. Zhmakin. Handbook of Thermal Science and Engineering, Edit: F. Kulacki, (Springer, 2018)
  50. R.B. Wilson, D.J. Cahill. Appl. Phys. Lett., 107, 203112 (2015)
  51. R.R. Alfano, S.G. Demos, S.K. Guyen. Ann. N. Y. Acad. Sci., 820, 248 (1997)
  52. A. Obana, Y. Gohto. Las. Surg. Med., 30, 170 (2002)
  53. M. Panjehpour, A. Wilke, D.J. Frazier, B.F. Overholt. Proc. SPIE, 1427, 307 (1991)
  54. F.H. Loesel, E.P. Fisher, H. Suhan, J.F. Bille. Appl. Phys. B, 66, 121 (1998)
  55. S.W. Jeong, H. Liu, W.R. Chen. Proc. SPIE, 5068, 216 (2003)
  56. K.C. Liu. Int. J. Thermal Sci., 47, 507 (2008)
  57. X. Li, Y. Zhong, J. Smith, C. Gu. Bioengin., 8, 71 (2017)
  58. Y. Hou, Z. Sun, W. Raw, J. Liu. Nanomed. Nanotechnol. Biol. Med., 14, 493 (2018)
  59. D.J. Tzou, W. Dai. Int. J. Heat Mass Transfer, 52, 1206 (2009)
  60. B. Rethfeld, A. Kaiser, M. Vicanck, G. Simon. Phys. Rev. B, 65, 214303 (2002)
  61. Д.С. Поляков, Е.Б. Яковлев. Квантовая электроника, 45, 917 (2015)
  62. S.V. Anisimov, B.L. Kapeliovich, T.L. Perelman. Sov. Phys. JETP, 39, 375 (1974)
  63. T.Q. Qiu, C.L. Tien. Int. J. Heat Mass Transfer, 37, 2789 (1994)
  64. J. Liu. Forsch. Ingenieur., 66, 1 (2000)
  65. D.T.W. Lin. Int. J. Sci. Eng., 1, 17 (2011)
  66. T. Nakano, G. Kikugawa, T.J. Ohara. Heat Transfer, 135, 661301 (2013)
  67. D.J. Cahill. Rev. Sci. Instr., 61, 802 (1990)
  68. C.C. Williams, H.K. Wickramasinghe. Appl. Phys. Lett., 49, 1587 (1986)
  69. D. Poulikakos, S. Arcidiacono, S. Maruyama. Microsc. Thermophys. Eng., 7, 181 (2003)
  70. W.J. Kaminski. Heat Transfer, 112, 555 560 (1990)
  71. S.L. Sobolev. Sov. Phys. Usp., 34, 217 (1991)
  72. M.N. Ozisik, D.Y. Tzou. J. Heat Transfer, 116, 526 535 (1994)
  73. M. Janicki, G. DeMay, M. Zubert, A. Napieralski. 30th SEMI-THERM Symposium, 202-206, (2014)
  74. R.E. Khayat, J. deBruyn, M. Niknami, D.F. Stranges, R.M.H. Khorasani. Int. J. Thermal Sci., 997, 163 (2015)
  75. K. Mitra, S. Kumar, A. Vedavarz, M.K. Moallemi. J. Heat Transfer, 117, 568 (1995)
  76. H. Herwig, K. Beckert. Heat Mass Transfer, 36, 387 (2000)
  77. W. Roetzel, N. Putra, S.K. Das. Int. J. Thermal Sci., 42, 541 (2003)
  78. P.J. Antaki. J. Heat Transfer, 127, 189 (2005)
  79. F. Xu, K.A. Seen, T. Lu. J. Int. J. Heat Mass Transfer, 51, 2237 (2008)
  80. Y. Rabin, P.S. Steif. J. Appl. Mech., 65, 328 (1998)
  81. Y. Rabin, P.S. Steif. Int. J. Solids Struct. 37, 2363 (2000)
  82. Z.S. Deng, J. Lin. J. Thermal Stresses, 26, 779 (2003)
  83. X. Shi, A.K. Datta, S. Mukharjee. J. Thermal Stresses, 22, 275 (1999)
  84. Z.Z. Hua, H.Y. Xu, G.Y. Zhou, J.F. Liu, H. Huang, W.X. Ding. Sci. in China, Ser. E., 44, 159 (2001)
  85. X. Shi, A.K. Datta. J. Biomech. Eng., 120, 720 (1998)
  86. Q. Liu, P. Jiang, H. Xiang. Prog. Nat. Sci., 18, 999 (2008)
  87. T.H. Yu, J. Liu, Y.X. Zhou. J. Thermal Stresses, 27, 1089 (2004)
  88. I.A. Lubashevsky, V.V. Gaychuk, B.Y. Datsko. arXiv:cond- mat/020105/v1 [cond-mat.soft], (2002)
  89. N. Afrin, Y. Zhang, J.K. Chen. Int. J. Heat Mass Transfer, 54, 2419 (2011)
  90. H.H. Pennes. J. Appl. Physiol., 1, 93 (1948); reprinted: Ibid, 85, 5 (1998)
  91. J. Crezee, J. Lagendjik. J. W. Phys. Med. Biol., 37, 1321 (1992)
  92. A. Lakssass, E. Kengne, H. Semmaoui. Natural Sci., 2, 1375 (2010)
  93. R. Livi, S. Lepri. Nature, 421, 327 (2003)
  94. A. Sellito, F.X. Alvarez. Nanosc. Systems, 1, 38 (2012)
  95. M. Pumarol, M.C. Rosamond, P.D. Tovee, M.C. Petty, D. Zeze, V.I. Falko, O.V. Kolosov. Nano Lett., 12, 2906 (2012)
  96. A.K. Majee, Z. Aksamija. Phys. Rev. B, 93, 235423 (2016)
  97. A. Henry, G. Chen. Phys. Rev. Lett., 101, 235502 (2008)
  98. A. Henry, G. Chen. Phys. Rev. B, 79, 144305 (2009)
  99. A. Jou, A. Sellitto, F.X. Alvarez. Proc. R. Soc. A, 467, 2520 (2011)
  100. P. Grassberger, L. Yang. arXiv; [cond-mat/020424], (2002)
  101. C.W. Chang, D. Okawa, H. Garcia, A. Majumdar, A. Zettl. Phys. Rev. Lett., 101, 075903 (2008)
  102. А.В. Елецкий. УФН, 179, 225 (2009)
  103. A.J. Majumdar. Heat Transfer, 115, 7 (1993)
  104. E.M. Moares. Heat Conduction - Basic Research, Edit:V. Vikrenko, (InTech, 2011)
  105. K. Takahashi. JSME Int. J. Ser. A, 40, 99 (1997)
  106. M.E. Gurtin, A.C. Pipkin. Arch. Rat. Mech. Analysis, 31, 113 (1969)
  107. D.D. Joseph, L. Presiosi. Rev. Mod. Phys., 61, 41 (1989)
  108. J. Hristov. Thermal Sci., 17, 733 (2013)
  109. S. Rukolaine, A. Samsonov. Phys. Rev. E, 88, 062116 12 (2013)
  110. A.H. Akbarzadeh, D. Pasini. Int. J. Heat Mass Transfer, 75, 656 667 (2014)
  111. K.C. Liu. Int. J. Heat Mass Transfer, 81, 347 (2015)
  112. D.D. Joseph, L. Presiosi. Rev. Mod. Phys., 62, 375 (1990)
  113. S.I. Serdyukov. Theor, Found, Chem, Eng., 47, 122 (2013)
  114. D. Jou, J. Casas-Vazouez. Physica A, 163, 47 (1990)
  115. L. Cheng, M. Xu, L. Wang. Int. J. Heat Mass Transfer, 51, 6018 (2008)
  116. S.N. Li, B.Y. Cao. Int. J. Heat Mass Transfer, 98, 824 (2016)
  117. M. Ciesielski, M. Duda, B. Mochnacki. J. Appl. Math. Comput. Mech., 15, 33 (2016)
  118. J.H. Choi, S.H. Yoon, S.G. Park, S.H. Choi. J. Korean Soc. Marine Eng., 40, 389 (2016)
  119. J.I. Frankel, B. Vick, M.N. Ozisik. J. Appl. Phys., 58, 3340 (1985)
  120. B.D. Nie, B.Y. Cao. Int. J. Heat Mass Transfer, 135, 974 (2019)
  121. L. Bergamasco, M. Alberhini, M. Fasano, A. Cardellini, E. Chiavazzo, P. Asinari. Entropy, 20, 126 (2018)
  122. C.I. Christov, P.M. Jordan. Phys. Rev. Lett., 94, 154301 (2005)
  123. C.I. Christov. Mech. Res. Comm., 36, 481 (2009)
  124. R.E. Khayat, M. Ostoja-Starzewski. Discrete Contin. Dynam. Syst., Series B, 15, 991 (2011)
  125. A. Barletta, E. Zanchini. Int. J. Heat Mass Transfer, 40, 1007 (1997)
  126. A. Barletta, E. Zanchini. Phys. Rev. B, 55, 14208 (1997)
  127. E. Zanchini. Phys. Rev. B, 60, 991 (1999)
  128. J.A. Conejero, A. Peris, M. Trujillo. Int. J. Bifurc. Chaos, 20, 2943 (2010)
  129. D. Jou, J. Casa-Vazquez, G. Lebon. Rep. Prog. Phys., 51, 1105 (1988)
  130. D. Jou, J. Casa-Vazquez, G. Lebon. Rep. Prog. Phys., 62, 1035 (1999)
  131. S.N. Li, B.Y. Cao. Entrophy, 18, 391 (2016)
  132. X. Liu, Y. Zhu, F. Zhang, X.F. Gong. Chin. Phys. B, 22, 024301 (2013)
  133. A. Salazar. Ur. J. Phys., 27, 1349 (2006)
  134. D.Y. Tzou. Int. J. Heat Mass Transfer, 36, 1845 (1993)
  135. D.J. Tzou. Int. J. Heat Mass Transfer, 38, 3231 (1995)
  136. D.Y. Tzou. Macro- to Microscale Heat Transfer: The Lagging Behavior, 2nd ed. (Wiley, N.Y., 2015)
  137. F. Xu, T. Lu. J. Adv. Appl. Math., 43, 147 (2009)
  138. W. Dai, N. Nassar. Num. Heat Transfer, 127, 243 (2000)
  139. K.C. Liu, H.T. Chen. Int. J. Thermal Sci., 49, 1138 (2010)
  140. Y. Zhang. Int. J. Heat Mass Transfer, 52, 4829 (2009)
  141. V.V. Kulish, V.B. Novozhilov. J. Heat Transfer, 126, 805 (2004)
  142. J. Ordonez-Miranda, J. Alvarado-Gill. Nanosc. Res. Lett., 6, 327 (2011)
  143. M. Xu, J. Guo, L. Wang, L. Cheng. Int. J. Heat Sci., 50, 825 (2011)
  144. M.I. Kaganov, I.M. Lifshitz, M.V. Tanatarov. Sov. Phys. JETP, 4, 173 (1957)
  145. S.I. Anisimov, B.L. Kapeliovich, T.L. Perelman. Sov. Phys. JETP, 39, 375 (1974)
  146. T.Q. Qiu, C.L. Tien. J. Heat Transfer, 115, 835 (1993)
  147. D.Y. Tzou. Int. J. Heat Transfer, 38, 3231 (1995)
  148. Y. Zhang. Int. J. Heat Mass Transfer, 52, 4829 (2009)
  149. D.Y. Tzou, W. Dai. Int. J. Heat Mass Transfer, 52, 1206 (2009)
  150. K.C. Liu. Int. J. Heat Mass Transfer, 54, 2829 (2011)
  151. K.C. Liu, P.J. Cheng, J.C. Wang. Int. J. Eng. Technol., 6, 132 (2014)
  152. L. Wang, M. Xu, X. Zhou. Int. J. Heat Mass Transfer, 44, 1650 (2001)
  153. L. Wang, M. Xu. Int. J. Heat Mass Transfer, 45, 1165 (2002)
  154. K.C. Liu, P.J. Cheng, Y.N. Wang. Thermal Sci., 15, S61 (2011)
  155. J. Escolano, F. Rodriguez, M.A. Castro, F. Vives, J.A. Martin. Math. Comput. Model., 54, 1841 (2011)
  156. S.A. Rukolaine. Int. J. Heat Mass Transfer, 78, 58 (2014)
  157. S.A. Rukolaine. Int. J. Heat Mass Transfer, 113, 83 (2017)
  158. R. Quintanilla, R. Racke. Int. J. Heat Mass Transfer, 49, 1209 (2006)
  159. R. Quintanilla. J. Non-Equilib. Thermodyn., 27, 217 (2001)
  160. M. Fabrizio, B. Lazzari. Int. J. Heat Mass Transfer, 74, 484 (2014)
  161. M. Xu. J. Heat Transfer, 133, 041401 (2011)
  162. J. Zhou, Y. Zhang. Comput. Biol. Med., 39, 288 (2009)
  163. M. Jaunich, S. Raje, K. Kim, K. Mitra, Z. Guo. Int. J. Heat Mas Transfer, 51, 5511 (2008)
  164. N. Afrin, J. Zhou, Y. Zhang, D.Y. Tzou, J.K. Chen. Numer. Heat Transfer, Part A, 61, 483 (2012)
  165. H. Ahmadikia, A. Moradi, R. Fazlali, A. Parsa. J. Mechan. Sci. Technol., 26, 1937 (2012)
  166. N. Sahoo, S. Ghosh, A. Narasimhan, S.K. Das. Int. J. Thermal Sci., 76, 208 (2014)
  167. K.C. Liu, J.C. Wang. Int. J. Heat Mass Transfer, 70, 621 (2014)
  168. H.Z. Poor, H. Moosavi, A. Moradi, H.G. Menghari, M. Parastarfeizabadi. Int. J. Mech. Syst. Eng., 4, 33 (2014)
  169. P. Hooshomand, A. Moradi, B. Khezri. Int. J. Thermal Sci., 90, 214 (2015)
  170. S. Kumar, A. Srivastava. Int. J. Heat Mass Transfer, 90, 166 (2015)
  171. M. Jasinsky, E. Majhrzak, L. Turchan. Appl. Math. Model., 40, 750 (2016)
  172. J. Zhou, Y. Zhang, J.K. Chen. Int. J. Thermal Sci., 48, 1477 (2009)
  173. M.J. Noroozi, S. Saedodin, D.D. Gangi. Alexandria Eng. J., 55, 1745 (2016)
  174. C. Li, J. Miao, K. Yang, X. Guo, J. Tu, P. Huang, D. Zhang. J. Appl. Phys., 123, 174906 (2018)
  175. P. Kumar, D. Kumar, K.N. Rai. J. Thermal Biol., 49- 50, 98 (2015)
  176. J.R. Ho, C.P. Kuo, W.S. Jiaung. Int. J. Heat Mass Transfer, 46, 55 (2013)
  177. A. Moradi, H. Ahmadikia. J. Eng. Med., 226, 406 (2012)
  178. H. Ahmadikia, A. Moradi. Heat Mass Transfer, 48, 2559 (2012)
  179. K.C. Li, H.T. Chen. Int. J. Heat Mass Transfer, 52, 1185 (2009)
  180. V. Borjalilou, M. Asghari, E.J. Bagheri. Thermal Stresses, 42, 1 (2019)
  181. Y. Chou, R. Yang. J. Int. J. Heat Mass Transfer, 52, 239 (2009)
  182. S.C. Chang. J. Comput. Phys., 119, 295 (1995)
  183. C.Y. Loh, S.C. Hultgren, S.C. Chang. AIAA J., 39, 794 (2001)
  184. A.H. Akbarzadeh, Y.Y. Cui, Z.T. Chen. RSC Adv., 7, 13623 (2017)
  185. A. Green, P. Naghdi. Proc. Roy. Soc. L, 357, 253 (1991)
  186. A. Green, P. Naghdi. J. Thermal Stresses, 15, 253 (1992)
  187. S.K.R. Choudhuri. J. Thermal Sci., 30, 231 (2016)
  188. A.H. Akbarzadeh, J. Fu, Z. Chen. Trans. Canadian Soc. Mech. Eng., 38, 155 (2014)
  189. R. Kumar, A.K. Vashishth, S. Ghangas. Int. J. Appl. Mech. Eng., 24, 603 (2019)
  190. R. Kumar, V. Gupta. Mech. Adv. Mater. Struct., 23, 896 (2016)
  191. R.A. Guyer, J.A. Krumhansl. Phys. Rev., 148, 766 (1966)
  192. R.A. Guyer, J.A. Krumhansl. Phys. Rev., 148, 778 (1966)
  193. M. Calvo-Schwartzwalder, T.G. Meyers, M.G. Hennessy. arXiv: 19055.06320 [cond-mat.mes-hall], (2019)
  194. G. Chen. Phys. Rev. Lett., 86, 2297 (2001)
  195. G. Chen. J. Heat Transfer, 124, 320 (2002)
  196. H.L. Li, B.Y. Cao. Nanosc. Microsc. Thermophys. Eng., 23, 10 (2018)
  197. R. Yang, G. Chen, M. Laroche, Y. Taur. Trans. ASME, 127, 298 (2005)
  198. P.B. Allen. Phys. Rev. B, 97, 134307 (2018)
  199. C. Hua, L. Lindsay, X. Chen, A.J. Minnich. arXiv: 1902.10020 [cond-mat.mtrl-sci], (2019)
  200. Y. Guo, M. Wang. Phys. Rev. B, 97, 035421 (2018)
  201. A. Cepellotti, N. Marzari. Phys. Rev. X, 6, 041013 (2016)
  202. R.C. Tolman. Phys. Rev., 35, 904 (1930)
  203. M. Wang, N. Yang, Z.Y. Guo. J. Appl. Phys., 110, 064310 (2011)
  204. Z.Y. Guo. J. Eng. Thermophys., 27, 631 (2006)
  205. Y. Dong, B.Y. Cao, Z.Y. Guo. Phys. Rev. E, 87, 032150 (2013)
  206. H.D. Wang. Theoretical, Experimental Studies on Non-Fourier Heat Conduction Based on Thermomass Theory. (Springer, 2014)
  207. Y. Dong, B.Y. Cao, Z.Y. Guo. J. Appl. Phys., 110, 063504 (2011)
  208. M. Wang, B.Y. Cao, Z.Y. Guo. Front. Heat Mass Transfer, 1, 013004 (2010)
  209. J. Wu, Z. Guo, B. Song. Tsinghua Sci. Technol., 14, 12 (2009)
  210. Y. Dong, B.Y. Cao, Z.Y. Guo. Phys. Rev. E, 85, 061107 (2012)
  211. С.Л. Соболев. УФН, 167, 1045 (1997)
  212. P. Van, T. Fulop. Ann. Phys., 524, 470 (2012)
  213. R. Kovacs, P. Van. Int. J. Heat Mass Transfer, 83, 613 (2015)
  214. A. Sellitto, V.A. Cimmelli. J. Heat Transfer, 134 (2012)
  215. G.J. Lebon. Non-Equilib. Thermodyn., 39, 35 (2014)
  216. D. Jou, V.A. Cimmelli. Commun. Appl. Industr. Math., 7, 196 (2016)
  217. A. Sellitto, P. Rogolino, I. Carlomagno. Commun. Appl. Industr. Math., 7, 39 (2016)
  218. P. Rogolino, R. Kovacs, P. Van, V.A. Cimmelli. arXiv: 1709.05502 [cond-mat,stat-mech], (2018)
  219. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. (Наука и техника, Минск, 1987)
  220. А.М. Нахушев. Дробное исчисление и его применение. (Физматлит, Москва, 2003)
  221. В.А. Нахушева. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. (Наука, М., 2006)
  222. В.Е. Тарасов. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. (Higher Education Press, Москва-Ижевск, 2011)
  223. F. Mainardi, R. Goremo. Int. J. Theor. Appl., 10, 269 (2007)
  224. M. Delkhosh. Appl. Math. Phys., 1, 103 (2013)
  225. I. Podlubny. Fractional Differential Equations. (AP, 1998)
  226. C. Li, D. Qian, Y.Q. Chen. Discr. Dyn. Nat. Soc., 2011, 562493 (2011)
  227. K.B. Oldham, J. Spanier. The Fractional Calculus. (AP, 1974)
  228. V.E. Tarasov. Int. J. Heat Mass Transfer, 93, 427 430 (2016)
  229. A.A. Kilbas, H.M. Srivastave, J.J. Trujillo. Theory, Applications of Fractional Differential Equations. (North Holland, 2006)
  230. B. Li, J. Wang. Phys. Rev. Lett., 91, 044301 (2003)
  231. Y. Yu, D. Xu, Y.S. Xu, Q. Zhang. Appl. Math. Model., 40, 23 (2016)
  232. M. Rahimy. Appl. Math. Sci., 4, 2453 (2010)
  233. S.X. Deng, X.X. Ge. Thermal Sci., 23, 1671 (2019)
  234. J.H. He, F. Liu. Nonlinear Sci. Lett., 4, 15 (2013)
  235. V.D. Beybalaev. Матем. Модел., 21, 55 (2009)
  236. V.D. Beybalaev, A.A. Aliverdiev, R.A. Magomedov, R.R. Meilanov, E.N. Akhmedov. Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 21, 376 387 (2017)
  237. J.H. He, Z.B. Li, Q.J. Wang. King Saud Univ. --- Sci., 28, 190 (2016)
  238. Q.L. Wang, J.H. He, Z.B. Li. Thermal Sci., 16, 339 (2012)
  239. Р.П. Мейланов, М.Р. Шабанова. ЖТФ, 81, 1 (2011)
  240. V.R. Voller, F. Falcini, R. Garcia. Phys. Rev, E, 87, 042401 (2013)
  241. R. Meylanov, M. Shabanova, E. Akhmedov. Int. Rev. Chem. Eng., 3, 810 813 (2011)
  242. D. Sierociuk, A. Dzielinski, G. Sarwas, I. Petr, I. Podlubny, T. Skovranek. Phil. Trans., Series A, 371, 20120146 (2013)
  243. R.S. Damor, S. Kumar, A.K. Shukla. J. Mech. Med. Biology, 14, 1450018 (2014)
  244. R.S. Damor, S. Kumar, A.K. Shukla. Am. J. Math. Analysis, 1, 20 (2013)
  245. R.S. Damor, S. Kumar, A.K. Shukla. Fractional Differential Calculus, 5, 43 (2015)
  246. M. Ezzat, N. Al-Sowayan, Z. Al-Muhiameed, S. Ezzat. Heat Mass Transfer, 50, 907 914 (2014)
  247. L.L. Ferras, N.J. Ford, M.L. Morgado, J.M. Nobrea, M.S. Rebelo. Fract. Calculus Appl. Anal., 18, 1080 (2015)
  248. J. Singh, P.K. Gupta, K.N. Rai. Math. Comput. Model., 54, 2316 2325 (2011)
  249. M. Zingales. Comm. Nonlin. Num. Simul., 19, 3938 (2014)
  250. M. Zingales. Int. J. Heat Mass Transfer, 67, 593 (2013)
  251. N.J. Burch, R.B. Lehoucq. SAND2010-8783P, (2010)
  252. L. Liu, L.C. Zheng, F.W. Liu, X.X. Zhang. Int. J. Heat Mass Transfer, 103, 1191 (2016)
  253. B. Yu, X. Jiang, C. Wan. Appl. Math. Comp., 274, 106 (2016)
  254. P. Kumar, D. Kumar, K.N. Rai. Proc. Eng., 127, 56 (2015)
  255. X. Jiang, H. Qi. J. Phys. A: Math. Theor., 45, 485101 (2012)
  256. H.T. Qi, H.Y. Xu, X.W. Guo. Appl. Math. Comput., 186, 286 (2007)
  257. T.N. Mishra, K.N. Rai. Propuls. Power Res., 5 (1), 45 (2016)
  258. Л.И. Мороз, А.Г. Масловская. Матем. матем. модел., 2, 29 (2019)
  259. J. Christov. Thermal Sci., 20, 757 (2016)
  260. M. Caputo, M. Fabrizio. Progr. Fract. Di er. Appl. 1, 73 (2015)
  261. B.S. Alkahtani, A. Atangana. Thermal Sci., 21, 1 (2017)
  262. X.L. Yang, H.M. Srivastava, J.A.T. Machado. arXiv: 1601.01623, (2015)
  263. X.J. Yang, Y. Han, J. Li, W.X. Liu. Thermal Sci., 20, S717 (2016)
  264. C.C. Ji, W. Dai, Z.Z. Sun. J. Sci. Comput., 75, 1307 (2018)
  265. C.C. Ji, W. Dai, Z.Z. Sun. J. Sci. Comput., 81, 1767 (2019)
  266. H.Y. Xu, X.Y. Jiang. Chin. Phys. B, 24, 034401 (2015)
  267. L. Liu, L. Zheng, F. Liu. Int. J. Heat Mass Transfer, 127, 165 (2018)
  268. M.A. Ezzat, A.S. El Karamany, M.A. Fayik. Arch. Appl. Math., 82, 557 (2012)
  269. M.A. Ezzat, A.A. El-Bary, M.A. Fayik. Mech. Adv. Mater. Struct., 20, 593 (2013)
  270. J. Fan, L.J. Wang. Appl. Phys., 109, 104202 (2011)
  271. D. Sarkar, A. Haji-Sheikh, A. Jain. Int. J. Heat Mass Transfer, 91, 602 (2015)
  272. A. Barletta, E. Zanchini. Heat mass transfer, 31, 443 (1996)
  273. S. Saerdodin, M. Torabi, H. Eskandar, M.J. Akbari. Comput. Anal. Appl., 13, 411 (2011)
  274. H. Ahmadikia, R. Fazlali, A. Moradi. Int. Commun. Heat Mass Transfer, 39, 121 (2012)
  275. H. Ahmadikia, A. Moradi, R. Fazlali, A. Basiri Parsa. J. Mech. Sci. Technol., 26, 1937 (2012)
  276. B. Kundu, D. Dewanjee. Case Stud. Therm. Eng., 5, 79 (2015)
  277. R.T. Al-Khairy, Z.M. Al-Ofey. J. Appl. Math., 2009, 504 (2009)
  278. H. Askarizadeh, H. Ahmadikia. Int. J. Engin., 27, 971 (2014)
  279. H. Askarizadeh, H. Ahmadikia. Heat Mass Transfer, 50, 1673 (2014)
  280. S.M. Lin. J. Mech. Med. Biol., 13, 1350063 (2013)
  281. R. Alkhairy. Appl. Math., 3, 1170 (2012)
  282. W. Dai, R. Nassar. Int. J. Heat Mass Transfer, 45, 1585 (2002)
  283. K. Zhukovski. Entropy, 19, 440 (2017)
  284. K. Zhukovski, D. Oskolkov, N. Gubina. Axioms, 7, 48 (2018)
  285. R. Kovacs. arXiv: 1804.05225 [cond-mat.sta.-mech], (2018)
  286. A. Getinkaya, O. Kiymaz. Math. Comput. Model., 57, 2349 (2013)
  287. Y. Povstenko. Cent. Eur. J. Phys., 11, 1284 (2013)
  288. Y. Povstenko. Comm. Appl. Industr. Math., 6, 1 (2014)
  289. Y. Povstenko. Entropy, 15, 4122 (2013)
  290. L. Junyi, X. Mingyu. J. Math. Anal. Appl., 351, 536 (2009)
  291. A.M. Yang, C. Cattani, H. Jafari, X. Yang. J. Abstract Appl. Anal., 2013, 462535 (2013)
  292. M. Kazemi, G.H. Erjaee. Iran. J. Sci. Tech., A3, 185 (2011)
  293. U. Ghosh, S. Sengupta, S. Sarkar, S. Das. Am. J. Math. Anal., 3, 32 (2015).

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.