В ряде приборов, использующих неконтактный подвес, ротор вращается в магнитном поле подвеса с большой скоростью. Проектирование таких приборов возможно только на основе знания свойств тел, вращающихся в магнитных полях. Это особенно важно для сверхпроводящих тел, если учесть, что вращение сверхпроводника в поле вызывает ряд эффектов, которые могут существенно ухудшить характеристики прибора. В связи с этим большое значение приобретает оценка нежелательных эффектов, возникающих при вращении сверхпроводника в магнитных полях. Одним из них является появление магнитного поля в объеме вращающегося сверхпроводника, не связанного с наличием внешнего поля, линейно зависящего от угловой скорости тела. Возникновение магнитного поля в сверхпроводнике при его вращении (аналог "эффекта Барнетта" [1]) было предсказано в работе [2] и теоретически обосновано Ф. Лондоном в 1960 г. Магнитное поле во вращающемся сверхпроводнике получило название "момент Лондона". Первый успешный эксперимент по его измерению был выполнен в работе [3] и повторен в ряде работ [4-6]. В 1940 г. И. Кикоин и С. Губарь провели эксперимент со сверхпроводниками, аналогичный широко известному опыту Эйнштейна де Гааза, и показали, что сверхпроводящий ток является электронным, а намагничивание сверхпроводника - следствием экранирующего тока. Моменту Лондона посвящен ряд теоретических работ, базирующихся на классической электродинамике [7], общей теории относительности [8] и квантовой механике [9]. В приборах, использующих подвес тела в магнитном поле, намагниченность, вызванная вращением тела, взаимодействуя с полем подвеса, порождает момент сил. Изучение движения тела под действием этого момента имеет принципиальное значение, особенно при установлении предельной точности навигационных систем, использующих неконтактный подвес. Дело в том, что даже при уничтожении всех причин, вызывающих уход гироскопа, избавиться от момента, обусловленного эффектом Барнетта-Лондона, практически невозможно. Кроме того, момент Лондона, направленный строго по оси вращения симметричного ротора, может быть использован в качестве датчика угла, например, в криогенном гироскопе с электростатическим подвесом. Влияние эффекта Барнетта-Лондона на угловые движения твердого тела в общетеоретическом аспекте рассматривалось в работах [10-13] и применительно к сверхпроводящему гироскопу в работах [14,15]. Во всех этих работах (за исключением [14]) основное внимание было направлено на изучение влияния эффекта Барнетта-Лондона на угловые движения сверхпроводящего тела в однородном магнитном поле. Однако поведение тела в неоднородном поле представляет большой интерес, так как в таком поле наряду с механическим моментом появляется механическая сила, в результате чего возникает взаимосвязь поступательных и вращательных движений, которая вызывает ряд эффектов, влияющих на работу криогенного гироскопа, аналогично несбалансированному ротору в неконтактном подвесе [16]. Момент сил, действующих на вращающийся сверхпроводящий шар в неоднородном магнитном поле Магнитный момент сверхпроводящего шара, вращающегося с угловой скоростью Omega, определяется выражением [15] G=varkappa a³Omega,   varkappa=(m_eC)/(|e|), (1.1) где m_e - масса электрона, C - скорость света в пустоте, |e| - величина заряда электрона, a - радиус шара. Найдем поверхностный ток, соответствующий магнитному моменту Лондона. Векторный потенциал в произвольной точке r выражается через магнитный момент единицы объема по формуле A(r)=_v Gxnabla' gl((1)/(| r-r'|)gr)dV'. (1.2) Используя тождество rot (varphi G)=[nablavarphix G]+varphirot G, преобразуем (1.2) к виду A(r)=_v (rot' G)/(| r-r'|)dV'- _v'rot gl(( G)/(| r-r'|)gr)dV'. (1.3) Штрих означает интегрирование по точкам внутри тела. Так как внутри шара G=const, то rot G везде равен нулю, поэтому первый интеграл в формуле (1.3) исчезает, а второй можно преобразовать в поверхностный. Тогда A(r)=_s' ([ Gx n])/(| r-r'|)ds', n - единичный вектор нормали к поверхности шара. Величину c[ Gx n] можно рассматривать как поверхностную плотность тока. В нашем случае она равна j_L=3C4 [ n], (1.4) значок L у вектора j будет в дальнейшем означать ток Лондона. Рассмотрим сверхпроводящий шаровой ротор, вращающийся в магнитном подвесе, образованном N сверхпроводящими катушками. Векторный потенциал такой системы равен [b] A&=1C^N_k=1_v_k _k| r-r_k|dV_k+ 1C_s' j_s| r-r'|ds' &  + 34_s' n| r-r'|ds'. (1.5) Здесь первый член описывает векторный потенциал заданных источников тока _k, второй - потенциал сверхтока j_s, наведенного внешним полем источников, и, наконец, третий член - потенциал токов Лондона. Вычисляя потенциал токов Лондона, получим A(r)=a^3r^3 [ r]. (1.6) Используя векторный потенциал (1.5), найдем потокосцепление с k-й катушкой _k=C^N_j=1I_jL_jk+ W_kS_k a^3 _v_k [ r t_k]r^3_kdV_k, (1.7) где L_jk - коэффициент взаимоиндукции k-й и j-й катушек, I_j - полный ток j-й катушки, W_k и S_k - соответственно число ампер-витков и площадь сечения провода k-катушки, и магнитную энергию [b] U&=12_kjI_kI_jI_kj+ 1C a^3 _kW_kS_k_v_k [ r t_k]r^3_kdV_k [2mm]&  + 38^2a^-1_s [ r]^2ds. (1.8) Первый член в формуле (1.8) описывает магнитную энергию взаимодействия поля подвеса с невращающимся шаром, второй - взаимодействие токов Лондона с полем подвеса, третий - собственную энергию токов Лондона. Если учесть, что 1C_kI_kW_kS_k _v_k( r t_k]r^3_kdV_k =- H 1.9 представляет магнитное поле, создаваемое катушками в точке пространства, занимаемого центром шара, то магнитную энергию взаимодействия токов Лондона с внешним полем подвеса можно представить в виде U_L=- a^3( H). (1.10) Применим выражение (1.10) для расчета моментов, действующих на вращающийся сверхпроводящий шар, в катушечных подвесах различной конфигурации. 1) В р а щ а ю щ и й с я с в е р х п р о в о д я щ и й ш а р в м а г н и т н о м п о л е о д н о й к а т у ш к и с к р у г о в ы м т о к о м . a) I=. Магнитная энергия после вычисления интеграла (1.8) имеет вид U=12I^2L_11+2 IWC a^3^2r ( e_z), (1.11) где r - радиус сферы, на которой находится контур кругового тока; - половина угла, под которым виден контур тока из центра шара; e_z - единичный вектор оси катушки; L_11 - индуктивность. Момент, действующий на вращающийся сверхпроводящий шар, будет определяться формулой M=2 IWCr a^3^2 [ e_z]. (1.12) Из этой формулы следует, что момент перпендикулярен плоскости, образованной векторами и e_z, и зависит от величины угловой скорости, размера шара, положения катушки, числа ампер-витков W. Максимальное значение момента достигается тогда, когда контур с током лежит в плоскости экватора =/2_+ и ^ e_z. б) =. Используя формулу (1.7), найдем потокосцепление с контуром тока _0=IL_11+2 WCr a^3 ^2( e_z), откуда I=(_0-_L)L^-1_11. (1.13) Подставляя (1.13) в формулу (1.12), будем иметь M=2 WCrL_11(_0-_L) a^3 ^2[ e_z]. (1.14) Момент при сохранении потока через катушку в общем случае отличается от момента при постоянном токе в катушке, так как ток в катушке зависит от положения относительно оси катушки. 2) В р а щ а ю щ и й с я с в е р х п р о в о д я щ и й ш а р в п о л е д в у х с о о с н ы х к а т у ш е к с в к л ю ч е н н ы м и н а в с т р е ч у к р у г о в ы м и т о к а м и . Магнитная энергия взаимодействия вращающегося шара с полем двух катушек с током имеет вид [b] U=12I^2_1L_11&+12I^2_2L_22 +I_1I_2L_12 [2mm]&+ 1C a^3 ^2_k=1I_kW_k [ e_rd l]r^2_k. (1.15) Если центр шара совпадает с центром симметрии двух соосных катушек, имеющих равные геометрические размеры и равные токи, включенные навстречу друг другу, то момент из-за токов Лондона не возникает, так как в формуле (1.15) последний член исчезает. Поэтому сразу предположим, что центр шара не совпадает с центром симметрии подвеса, а расположен в некоторой точке O_1, определяемой радиус-вектором b, проведенным из центра симметрии подвеса O, которую мы примем за начало системы координат. Ось 0Z этой системы совпадает с осью симметрии подвеса, а оси 0X и 0Y лежат в плоскости, перпендикулярной 0Z. Вычисляя энергию с точностью до первого порядка по смещению центра масс ротора, будем иметь [b] U&=12I^2(L_11+L_22-2L_12)+ 2 IWCr^2 a^33^2 [2mm]&   [2z(e_3)- x(e_1)- y(e_2)], (1.16) где x, y, z - компоненты вектора смещения b; e_ i ( i=1,2,3) - единичные орты. Момент сил будет иметь вид [b] M=& 2 IWCr^2 a^33^2 2z[ e_3] [2mm]&- x[ e_1] -y[ e_2]. (1.17) Легко увидеть, что на вращающийся шар кроме момента сил будет действовать и сила, имеющая вид [b] F=& 2 IWCr a^33^2 2_3e_3 [2mm]&- _1e_1- _2e_2. (1.18) Из формулы (1.18) следует, что сила не совпадает по направлению с вектором угловой скорости и не зависит от смещения ротора. Общий анализ показывает, что момент сил, вызванный эффектом Барнетта-Лондона, возникает тогда, когда в разложении потенциала поля подвеса присутствует первая гармоника (есть однородная составляющая поля). Поэтому, на первый взгляд, чтобы избавиться от уходов, вызванных токами Лондона, надо создать такую конфигурацию магнитного поля подвеса, чтобы в ней в окрестности устойчивого состояния равновесия тела отсутствовала однородная составляющая. Например, поместить тело в центр системы, образованной соосными катушками, в которых одинаковые по величине токи включены навстречу. Формулы (1.17) и (1.18) говорят, что это не так. Действительно, если бы вращение шара в отсутствие гравитационных сил не приводило к изменению положения равновесия, то момент сил, действующий на вращающийся ротор, был бы равен нулю. Однако вращение шара вызывает силу (1.18) (в общем случае ее можно представить в виде F_ i= a^3_j(tial H_ i/tial X_j)), которая сместит ротор в новое положение равновесия, определяемое равенством сил со стороны поля подвеса и силой, вызванной эффектом Лондона. Это смещение вызовет момент (1.17). При этом, если ротор нутирует, может возникнуть взаимосвязь поступательных и вращательных движений, которая в неконтактном регулируемом подвесе вызвовет ряд эффектов, влияющих на работу прибора аналогично дисбалансу ротора в неконтактном подвесе. Влияние эффекта Барнетта-Лондона на движение сверхпроводящего ротора в неоднородном магнитном поле неконтактного регулируемого криогенного подвеса Запишем в безразмерном виде, выделив малый параметр , уравнения движения ротора в форме уравнений количества движений и момента количества движения D^2 r+(D) r=() h, D k=, ( r) h]. (2.1) Здесь r, k, , h - безразмерные вектор смещения центра масс относительно центра подвеса, вектор кинетического момента, угловой скорости, вектор магнитного поля; (D) - тензорный оператор динамической жесткости, D - оператор дифференцирования по безразмерному времени, в качестве масштаба которого выбрано "нутационное" время движения ротора T_0=I_1K^-1_0 (I_1 - экваториальный момент инерции, K_0 - характерная величина кинетического момента); =R^2_0MT^-210^-8-10^-3 (R_0 - характерный масштаб смещения центра масс, M - масса ротора). Так как rot H=0, div H=0, то тензор tial H_ i/tial x_j - симметричный с нулевым следом, следовательно, он может быть записан в форме неприводимого тензора второго ранга L_2 L_20=tial H_3/tial x_3, L_22=L_2-2=16 (tial H_1tial x_1- tial H_2tial x_2) . Если поле осесимметрично, то тензор L_2 имеет только одну компоненту L_20. Представим силу Лондона через неприводимый тензор первого ранга [17] F_1=-52 L_2_1_1. (2.2) Для дальнейших вычислений запишем второе уравнение (2.1) в форме неприводимого тензора k_1= i5_1 L_2 r_1_1_1=M_1. (2.3) Из первого уравнения (2.1) найдем r, считая, что собственные решения задачи затухают r_1=-52 L_2 E_1_1+ 52T_2L_2_1_1, (2.4) где E=13Sp(D), T_20=_3-E, T_22=T_2-2=16(_1-_2). Подставляя уравнение (2.4) в правую часть (2.3), получим [b] M_1=&- i52_ npSq' L_2q'L_2q_1E(D) _1SC^1_11nC^1n_2q'1C^1_2p1S [2mm]&+ i552_ npSqq' L_2q'L_2q_1T_2p _1tC^1_2p1SC^1_2q'1C^1S_2q1t. (2.5) Здесь C^1_1 1n - коэффициент Клебша-Гордана [17]. В дальнейшем рассмотрим осесимметричный случай, т. е. будем считать, что L_20=0, L_22=L_2-2=0; T_20=0, T_22=T_2-2=0. Тогда (2.5) значительно упростится и будет иметь вид [b] M_1=& i22_ n (3n^2-2)_1 [2mm] & [E(D)- 12(3n^2-2)T_20(D)] _1nC^1_1 1n. (2.6) Осредним (2.6) по свободному движению Эйлера-Пуасо и представим момент в форме M=[e]V_1+_V_2+eV_3, (2.7) где [b] V_1=&8L^2_20 (1-1+^2)^2 ( k h)^2[4_3(0)-_1(0)] [2mm]&+ 16L^2_20 (1+)^2^2^2 ( k h)^2Re[_1( ik) [2mm]&- 4_3( ik)], V_2&=16L^2_20 (1+)^2^2^2 ( k h)^2Im[_1( ik) [2mm]&  - 4_3( ik)], [b] V_3&=4k^2L^2_20 (1+)^2^2^2 2[ k h]Im _3( ik) [2mm]&  + 12(1+( k h)^2)Im _1( ik). Здесь e - единичный вектор кинетического момента, _ - поперечная часть градиента, =(I_3-I_1)/I_1, - угол нутации (угол между вектором k и осью динамической симметрии ротора). Определяя еще момент в проекции на ось симметрии тела и проводя его осреднение, запишем уравнения эволюционных движений вектора кинетического момента и угла нутации. [b] k&=4k^2L^2_20 (1+)^2^2^2 [2^2 Im _3( ik) [2mm]&  + 12(1+^2) Im _1( ik)], [b] &=-8kL^2_20 (1+)^2^2^2 Im [_1( ik) [2mm]&  - 4_3( ik)], [b] &=-4L^2_20k (1-1+^2) [4_3(0) [2mm]&  - _1(0)]- 8kL^2_20 (1+)^2^2^2 [2mm]&   Re [_1( ik)-4_3( ik)], [b] &=-4kL^2_20 1+ (1-1+^2) [2mm]&   [2^2 Im _3( ik) [2mm]&  + 12(1+^2) Im _1( ik)]. (2.8) Здесь - угол прецессии вектора кинетического момента вокруг оси поля, - угол между вектором кинетического момента и осью поля. Используя первое и последнее уравнения системы (2.8), найдем первый интеграл k^2(1-1+^2)=, (2.9) который по физическому смыслу отвечает сохранению кинетической энергии. Если подвес изотропный (_3=_1), то существует еще один интеграл k3Ctg^2=. (2.10) Из последнего уравнения системы (2.8) следует достаточное условие асимптотической устойчивости нутационных колебаний тела [b] &[2^2Im_3( ik) [2mm] & + 12(1+^2)Im _1( ik)]>0. (2.11) Для изотропного подвеса условие (2.11) переходит в неравенство Im( ik)>0. (2.12) Рассмотрим случай, когда на сверхпроводник в магнитном подвесе действуют "упругая" сила, пропорциональная смещению геометрического центра шара q_0 r, и сила "вязкого трения", пропорциональная r. Выражение для передаточной функции примет вид (0)=q_0(1+ D), тогда ( ik)= 1(q_0-k^2)+ iq_0 k= (q_0-k^2)^2- i q_0k (q_0-k^2)^2+q^2_0^2k^2, откуда Im ( ik)= - q_0k(q_0-k^2)^2+q^2_0^2k^2<0. Для выполнения неравенства (2.12) необходимо, чтобы =(I_3-I_1)/I_1<0, т. е. I_3<I_1. Таким образом, в рассмотренном случае у "вытянутого" тела нутации затухают, а у "сплюснутого" - растут. Наличие интегралов позволяет провести анализ движения вектора кинетического момента. Стационарный режим движения - прецессия вектора кинетического момента вокруг оси подвеса со скоростью прецессии =-4kL^2_20 _0(1+)^2[4_3(0)- _1(0)]. (2.13) Из (2.13) следует, что даже в равножестком подвесе из-за токов Лондона может появиться уход гироскопа. Исследуем движение тела в изотропном подвесе на основе первых интегралов (2.9) и (2.10). Пусть исходный стационарный режим соответствует следующим значениям переменных: =0, k=k_0, =_0, =-(3/4) k_0L^2_20(1+ )^-2_0(0). Предположим, что возникли нутации. Из наличия интегралов следует, что после затухания нутаций возникает новый стационарный режим, характеризуемый переменными =0, k_H=I_3/I_1k_0, =_H. Так как I_3<I_1, то в новом стационарном режиме k_H<k_0, т. е. ротор затормозится и угол между осью поля и кинетическим моментом уменьшится. Таким образом, изменится не только скорость прецессии, но и раствор конуса прецессии. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект N 95-01-00612).

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.