Введение Задача о диэлектрическом теле в неоднородном статическом поле (речь идет о решениях в явном виде для определенных случаев) имеет давнюю историю. Краткий обзор этого вопроса можно найти, например, в [1,2]. Широко известны аналитические решения задачи о диэлектрическом шаре в неоднородном поле и диэлектрическом эллипсоиде в однородном внешнем поле (см., например, [3]). Явное решение задачи о диэлектрическом эллипсоиде во внешнем поле в случае квадратичного и кубического потенциалов дано в [2]. Нам представляется, что нахождение явных решений имеет самостоятельную ценность наряду с разработкой различных приближенных методов [4]. Нами получено аналитическое решение задачи электростатики для сжатого диэлектрического сфероида в поле точечного заряда, расположенного на оси симметрии сжатого сфероида. Задача решена с помощью разложения в ряд по нормальным решениям уравнения Лапласа в координатах (eta,theta,varphi), связанных со сфероидом. Как пример прикладного использования этой задачи приведен расчет плотности мейсснеровских токов сверхпроводящего диска в магнитном поле диполя, расположенного на оси диска. Решение Пусть сжатый сфероид с полуосями d и R (R>d) и диэлектрической проницаемостью varepsilon рсположен в начале декартовой системы координат (x,y,z), а ось симметрии сфероида совпадает с осью z (рис. 1). Электрический заряд q расположен над сфероидом в точке r_q(0,0,a), т. е. необходимо решить уравнения E=-nablavarphi,      Deltavarphi=4pi q·delta( r- r_q) (1) с граничными условиями на поверхности сфероида varphi^int=varphi^ext,    varepsilon E_n^int=E_n^ext. (2) Здесь varphi^int, varphi^ext и E^ent, E^ext - электрические потенциал и поле внутри и вне сфероида соответственно. Воспользуемся системой координат (eta,theta,varphi), связанных со сфероидом [5], x=fchetasinthetacosvarphi, y=fchetasinthetasinvarphi, z=fshetacostheta. (3) Здесь f=sqrt(R²-d²)sqrt . При этом поверхность сфероида совпадает с поверхностью eta=eta₀, где sheta₀=d/sqrt(R²-d²)sqrt, координата заряда r_q(eta₁,0,0), где sheta₁=a/sqrt(R²-d²)sqrt . Так как заряд находится на оси симметрии сфероида, то решение зависит лишь от двух координат (rho,z) и соответственно (eta,theta), где rho=sqrt(x²+y²)sqrt. Величину 1/| r_q- r| можно разложить в ряд по нормальным решениям уравнения Лапласа в координатах, связанных со сфероидом [5], (f)/(| r_q- r|)=_n=0^{бесконечность}(2n+1) P_n(costheta)Q_n(isheta₁)P_n(isheta), (4) где точки r_q и r имеют координаты (eta₁,0) и (eta,theta) соответственно; P_n, Q_n - функции Лежандра первого и второго рода n-й степени для комплексного аргумента. Разложение справедливо для eta<eta₁. Решение внутри и вне сфероида, следуя [5], представим в виде varphi^int=_n=0^{бесконечность}A_nP_n(costheta)P_n (ish eta), varphi^ext=_n=0^{бесконечность}B_nP_n(costheta)Q_n (isheta)+(q)/(| r_q- r|). (5) Используя (2), (4) и (5), находим коэффициенты A_n и B_n A_n=(qsqrt(R²-d^2)/())sqrt =<ft. [b] B_n&=(q(varepsilon-1))/(sqrt(R²-d²⁾)sqrt [!tb] [width=]23037-1.eps Диэлектрический сжатый сфероид в поле электрического заряда q. [!b] Распределение плотности мейсснеровского тока сверхпроводящего диска, индуцированного магнитным диполем. Диполь расположен на оси диска на расстоянии a от его поверхности; a=0.6· R ( 1), 0.9· R ( 2), 1.5· R ( 3). Заметим, что при d-> R получаем решение задачи о диэлектрическом шаре в поле точечного электрического заряда varphi^int=q_n=0^{бесконечность} ((2n+1))/(n(varepsilon+1)+1) P_n(costheta)(rⁿ)/(aⁿ⁺¹), (7) а при a->бесконечность получаем решение задачи о диэлектрическом сфероиде в однородном поле varphi^int= const+(q)/(a²) (z)/(1+(varepsilon-1)n^(z)). (8) Здесь n^(z)=(1+sh²eta₀)(1-sheta₀ arctg(1/sheta₀)) - коэффициент деполяризации сжатого сфероида в направлении оси симметрии. Полученные результаты позволяют найти решение задачи о сверхпроводящем сжатом сфероиде в поле магнитного диполя, расположенного на оси сфероида. Решение этой задачи имеет практическое значение в связи с задачей о магнитном микрозондировании сверхпроводников [6]. Как известно, электростатическая задача формально совпадает с магнитостатической, и, заменив электрическое поле E на магнитное H и устремив varepsilon->0, получим задачу о сверхпроводнике в магнитном поле. Пусть varphi_q=qvarphi(a, r) есть потенциал электрического поля, создаваемого зарядом q, расположенным на расстоянии a от диэлектрического сфероида c varepsilon->0. Тогда потенциал точечного диполя, расположенного там же, varphi_d=qr_dvarphi'_a(a, r)= mvarphi'_a(a, r), (9) где m=qr_d - дипольный момент. Переходя к магнитостатике, найдем магнитное поле H, создаваемое магнитым диполем над сверхпроводящим сфероидом, H=-nablavarphi_d (10) и поверхностную плотность мейсснеровских токов j_m=Lambda H_tau|_eta=eta0. (11) Здесь Lambda=c/4pi, где c - скорость света, H_tau|_tau=tau0 - тангенциальная компонента поля H. Окончательно получим =<ft. [b] j_m&=Lambda(m)/(f³) (sintheta)/((1+sh²eta₀) (cos²theta+ sh²eta₀)^1/2) &x _n=0^{бесконечность}(2n+1)P'_n(costheta) (Q'_n(isheta₁))/(Q'_n(isheta₀)). . (12) Для случая тонкого диска (d/R->0) выражение (12) в полярных координатах (rho=sqrt(x²+y²)sqrt) для ближней к диполю поверхности (0=<costheta=<1, т. е. z>0) записывается в виде =<ft. [b] j_n|_z>0&=Lambda(m)/(R³) (rho)/(sqrt(R⁴/(R²-d²)-rho²⁾)sqrt На рис. 2 приведены зависимости j_m(rho) при разных расстояниях между диполем и диском для ближней к диполю поверхности диска (z>0). Заметим, что значения j_m|_z>0>> j_m|_z<0 (здесь j_m|_z<0 - плотность тока на дальней поверхности диска), что вполне очевидно для рассматриваемого случая тонкого диска. Данная работа выполнена при поддержке Российской государственной программы по ВТСП (Проект N 92144) и Российского фонда фундаментальных исследований (Грант N 9302-3362).

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.