Издателям
Вышедшие номера
Локализация в системе связанных колец Ааронова--Бома
Попов И.Ю.1, Гейлер В.А.2, Попов А.В.2
1Институт точной механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия
2Мордовский государственный университет, Саранск, Россия
Выставление онлайн: 19 апреля 1999 г.

Последнее десятилетие квантовый транспорт в мезоскопических системах интенсивно изучается как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения [1-3]. Для систем мезоскопических колец в магнитном поле особый интерес представляет изучение связи между коэффициентом прохождения и величиной поля, точнее магнитным потоком Phi [1,4-6]. В частности, работа [5] посвящена изучению резонансных транспортных явлений в системе серийно соединенных колец. Установлено, что все состояния, близкие к Phi0/2 (Phi0 --- квант магнитного потока), являются анитрезонансными. В нашей статье предлагаются три явно решаемых модели, основанные на теории расширений операторов [7-9]. В первой модели рассмотрена система колец Ааронова--Бома, связанных в бесконечную цепь. Показано, что при условии Phi=Phi0(1/2+k), k --- целое, спектр состоит только из локализованных состояний. Во второй модели периодическая система колец связана с бесконечным квантовым проводом. Условие локализации включает соотношение между радиусом колец и длиной отрезка провода между двумя соседними точками соединения. Кроме того, в спектре есть и делокализованные состояния. Третья модель описывает квадратную решетку колец, соединенных в точках касания. Здесь показано наличие локализованных состояний и отмечены свойства спектра, аналогичные соответствующим свойствам для квантового биллиарда. Кольцо Ааронова--Бома радиуса R с магнитным потоком Phi описывается гамильтонианом HAB0=(h2)/(2m*R2) ( -(d2)/(dphi2) +2i(Phi)/(Phi0) (d)/(dphi) + ( (Phi)/(Phi0) )2 ), где m* --- эффективная масса носителя заряда, phi --- полярный угол. Известно, что спектр HAB0 состоит из собственных чисел Em=(h2)/(2m*R2) ( m-(Phi)/(Phi0) )2,    m Z, которым соответствуют нормированные собственные функции psim(phi)=exp(imphi)/sqrt(2pi R)sqrt. -1 Пространство состояний для кольца есть HAB0=L2(SR), где SR --- круг радиуса R. Пространство состояний HAB0 для бесконечной системы изолированных колец есть ортогональная сумма пространств HAB0. Чтобы "соединить" кольца, использован метод теории расширений [7,9-11]. Рассмотрим множество DAB1 функций из области определения оператора HAB0, обращающихся в нуль в точках phi=0 и phi=pi. Ортогональную сумму DAB1 обозначим D(1), а сужение HAB на это множество --- S(1). Гамильтониан модели ищем среди самосопряженных расширений S(1). Для описания расширений удобно пользоваться формулой Крейна для резольвент [b] G(1)(zeta)=& GAB(zeta) &-Gamma(1)(zeta) [ Q(1)(zeta)+A ]-1 Gamma(1)*(zeta), (1) где A --- самосопряженный оператор в l2(Z) C2, Q(1), Gamma(1) --- так называемые Q- и Gamma-функции Крейна оператора S(1). В нашем случае Q-функция Q(1)(zeta) есть аналитическая оператор-функция, действующая в гильбертовом пространстве l2(Z) C2, а Gamma-функция Gamma(1)(zeta) действует из l2(Z) C2 в HAB, причем они находятся явно. Оператор A представляется с помощью блочной матрицы ||Am,n||, каждый элемент которой Am,n есть 2x 2-матрица. Учитывая серийность соединения колец, выбираем матрицы следующим образом: Am,n=0, при m# n± 1 и Am,m-1= 0 & tau 0 & 0 ,    Am,m+1= 0 & 0 tau & 0 , где tau# 0 --- вещественный параметр, зависящий от свойств контакта между кольцами. В результате получаем следующее дисперсионное уравнение: -7pt[b] (m*)/(h2E)sin2& l( pi Rsqrt(2m*E)sqrt + tau2 ( cos (2pi Rsqrt(2m*E)sqrt где 0=<q p <1 --- квазиимпульс. Уравнение (2) показывает, что для Phi=(1/2+n)Phi0, n --- целое число, спектр H(1) состоит только из собственных значений Em, не зависящих от квазиимпульса p. Эти значения являются корнями уравнения tg2 l( pi Rsqrt(2m*E)sqrt Рассмотрим систему колец, подсоединенных к бесконечному проводу. А именно, соединим n-е кольцо с проводом в точке xn=an, a>0, n=0,±1,±2,... . Пространство состояний системы: H=L2(R) HAB. Строим модель аналогично предыдущему случаю. Здесь только добавляется одномерный гамильтониан для оси Hfree=-(h2)/(2m*) (d2)/(dx2). Не описывая вновь построение, которое аналогично предыдущему случаю, укажем результат. Дисперсионное уравнение имеет вид [b] (1)/(h)sqrt((m*)/(2zeta))sqrt Отметим, что левая часть (3) совпадает с известным выражением в модели Кронига--Пенни [8]. Дисперсионное уравнение показывает, что спектр H(2) имеет зонную структуру; E=Es(p), p T, s=1,2, ... . Найдем условие появления локализованных состояний в спектре H(2). Пусть Ek=pi2h2k2/(2m*a*), k=1,2,... есть собственные значения для интервала длины a с условиями Дирихле на концах. Уравнение (3) показывает, что Ek будут локализованными состояниями в спектре H(2), если поток Phi удовлетворяет условию Phi= ( ±(pi R)/(a)k+n )Phi0 (4) для целого n. Отметим, что если a=lpi R для некоторого целого l, то условие (4) выполнено для всех k. Но даже в случае a=pi R спектр H(2) содержит кроме уровней Ek делокализованные состояния. В этом случае непрерывные зоны спектра задаются дисперсионным соотношением [b] cos (2pi p)=& (m*)/(2tau2h2E) cos (pi Rsqrt(2m*E)sqrt Рассмотрим теперь квадратную решетку касающихся колец Ааронова--Бома. Будем здесь дополнительно предполагать, что поле B есть сумма B= B0+ BAB. Первый член есть однородное магнитное поле B0. Дополнительный член BAB описывает магнитное поле, созданное периодической системой бесконечно тонких соленоидов (соленоидов Ааронова--Бома), находящихся в центре каждого кольца. Предполагаем, что магнитный поток в каждом соленоиде одинаков и равен PhiAB. В этой ситуации гамильтониан HAB электрона в кольце есть самосопряженный оператор в пространстве Hlambda=L2( Slambda) ( Slambda --- круг радиуса R), имеющий вид 10000 [b] HAB=&-(h2)/(2m*) (1)/(R2) (d2)/(d phi2) +(ih e)/(2m*c) ( B0+(PhiAB)/(pi R2) ) (d)/(dphi) [2mm] &+ (e2)/(8m*c2) ( B20R2 +(2B0PhiAB)/(pi) +(Phi2AB)/(pi2R2) ), (5) где m* и e есть масса и заряд частицы соответственно. Пусть Phi --- полный магнитный поток через кольцо: Phi=(pi R2B0+PhiAB)/Phi0, где Phi0=h c/e --- квант магнитного потока. Пусть eta=4R2B0/Phi0 --- поток однородной компоненты поля через элементарную ячейку решетки. Связь между кольцами задаем, используя схему теории расширений операторов, действуя в духе подхода работы [12]. При этом мы принимаем во внимание, что гамильтониан модели должен быть инвариантен относительно группы магнитных трансляций. В итоге приходим к следующему результату. Пусть eta --- рациональное число: eta=N/M. Тогда спектр модельного самосопряженного оператора HA состоит из двух частей: sigma1 и sigma2. Первая, sigma1, состоит из (бесконечно вырожденных) собственных значений HA, которые являются одновременно собственными значениями varepsilonn оператора HAB. Вторая часть, sigma2, есть зонный спектр HA. Этот спектр состоит из зон Z0, Z1, Z2,..., Zl,..., лежащих на интервалах ([-бесконечность,varepsilon3], [varepsilon0,varepsilon4], [varepsilon1,varepsilon5],..., [varepsilonn,varepsilonn+4]... (зона Z0 может быть пуста) ); каждая зона Zn, n>=q 1, делится на M "магнитных" подзон. Для фиксированного значения квазиимпульса каждая точка sigma2 вырождена с кратностью M. [!tb] Различные типы квазиклассических траекторий в массиве квантовых антиточек: 1 --- замкнутые траектории, не охватывающие квантовых антиточек; 2 --- незамкнутые траектории, описывающие распространение электрона; 3 --- замкнутые траектории, охватывающие одну или несколько антиточек. Далее, если полный поток Phi не является четным целым, то часть sigma1 при произвольном выборе модельных параметров, вообще говоря, пуста. Если Phi --- четное целое, то sigma1 содержит все собственные значения HAB. Существует и другая возможность появления связанных состояний в спектре sigma(HA) --- оно может появиться как "вырожденная подзона". А именно, если eta целое: eta=N, то при определенном выборе модельных параметров дисперсионное уравнение имеет решение, независящее от квазиимпульса. Таким образом, если поток однородной компоненты магнитного поля eta есть целое число и полный поток Phi через кольцо --- четное целое, то спектр модельного гамильтониана HA для квадратной решетки связанных колец Ааронова--Бома состоит из трех частей: 1) уровни изолированного кольца; 2) зонный спектр (зоны, расщепленные на "магнитные подзоны"); 3) связанные состояния, удовлетворяющие дисперсионному уравнению и не совпадающие с уровнями изолированного кольца. Отметим, что такая же структура спектра имеется и в модели квантового биллиарда --- периодического массива квантовых антиточек (см. [12]). При этом разным частям спектра соответствуют разные квазиклассические траектории электрона: 1) замкнутые траектории, не охватывающие квантовых антиточек; 2) незамкнутые траектории, описывающие распространение электрона по решетке; 3) замкнутые траектории, охватывающие одну или несколько антиточек (см. рисунок). Таким образом, со спектральной точки зрения построенную модель можно считать в некотором смысле простейшей моделью квантового биллиарда. Работа частично поддержана грантом РФФИ.
  • Y. Gefen, Y. Imry, M.Ya. Azbel. Phys. Rev. Lett. 52, 129 (1984)
  • R. Landauer. Phys. Rev. B33, 6497 (1986)
  • M. Buttiker, Y. Imry, R. Landauer. Phys. Lett. A96, 365 (1983)
  • A. Aldea, P. Gartner, I. Corcotoi. Phys. Rev. B45, 14 122 (1992)
  • J. Li, Z.-Q. Zhang, Y. Liu. Phys. Rev. B55, 5337 (1997)
  • I.-R. Shi, B.-Y. Gu. Phys. Rev. B55, 4703 (1997)
  • B.S. Pavlov. Lecture Notes Phys. 324, 3 (1989)
  • S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. Solvable Models in Quantum Mechanics. Springer, Berlin (1988). 450 p
  • I.Yu. Popov, S.L. Popova. Europhys. Lett. 24, 373 (1993)
  • V.A. Geyler, I.Yu. Popov. Z. Phys. B93, 437 (1994)
  • V.A. Geyler, I.Yu. Popov. Z. Phys. B98, 473 (1995)
  • V.A. Geyler, B.S. Pavlov, I.Yu. Popov. J. Math. Phys. 37, 5171 (1996)
  • Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

    Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.