Издателям
Вышедшие номера
Симметрия квазикристаллов
Мадисон А.Е.1
1Государственная морская академия им. С.О. Макарова Санкт-Петербург, Россия
Email: alex_madison@mail.ru
Поступила в редакцию: 10 апреля 2012 г.
Выставление онлайн: 20 марта 2013 г.

Определение апериодического кристалла (квазикристалла) как твердого тела, характеризующегося запрещенной симметрией, свидетельствует о существовании нерешенной проблемы, поскольку взаимоисключающим образом апеллирует к основной теореме классической кристаллографии. Нами на примере разбиения Пенроуза исследуются свойства симметрии апериодических разбиений с целью установления допустимых групп симметрии квазикристаллов. Заполнению евклидова пространства по апериодическому закону ставится в соответствие действие бесконечного числа групповых элементов на некоторую фундаментальную область в неевклидовом пространстве. Делается вывод, что все локально эквивалентные разбиения имеют общую "родительскую" структуру и, следовательно, одну и ту же группу симметрии. Вводится в рассмотрение идеализированный объект --- бесконечно измельченное разбиение. Показано, что его операциями симметрии являются операции подобия (поворотной гомотетии). Дается положительный ответ на вопрос о возможности композиции операций подобия с различными особыми точками. Показано, что преобразования апериодических кристаллов, сохраняющие ориентацию, изоморфны некоторой дискретной подгруппе группы Мёбиуса PSL(2,C), т. е. могут быть реализованы как дискретные подгруппы полной группы движений пространства Лобачевского. Задача классификации допустимых типов апериодических разбиений сводится к процедуре перечисления названных дискретных подгрупп.
  1. D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn. Phys. Rev. Lett. 53, 20, 1951 (1984)
  2. M. Senechal. Quasicrystals and geometry. Cambridge University Press (1995). 286 p
  3. Quasicrystals / Ed. T. Fujiwara, Y. Ishii. Elsevier (2008). 359 p
  4. W. Steurer, S. Deloudi. Crystallography of quasicrystals. Concepts, methods and structures. Springer (2009). 384 p
  5. M. Senechal. AMS Notices. 53, 8, 886 (2006)
  6. R. Lifshitz. Found. Phys. 33, 12, 1703 (2003)
  7. D.A. Rabson, N.D. Mermin, D.S. Rokhsar, D.C. Wright. Rev. Mod. Phys. 63, 699 (1991)
  8. S. Hyde, S. Andersson, K. Larsson, Z. Blum, T. Landh, S. Lidin, B.W. Ninham. The language of shape. The role of curvature in condensed matter physics, chemistry and biology. Elsevier (1997). 383 p
  9. E. Abe, Y. Yan, S.J.R. Pennycook. Nature Mater. 3, 11, 759 (2004)
  10. В.Е. Дмитриенко, В.А. Чижиков. Кристаллография 51, 4, 593 (2006)
  11. E.A. Lord, A.L. Mackay, S. Ranganathan. New geometries for new materials. Cambridge University Press (2006). 235 p
  12. V.Ya. Shevchenko, A.E. Madison, A.L. Mackay. Acta Cryst. A 63, 2, 172 (2007)
  13. Ф. Клейн. В сб.: Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей / Под ред А.П. Нордена. ГИТТЛ, М. (1956). С. 399
  14. D. Levine, P.J. Steinhardt. Phys. Rev. B 34, 2, 596 (1986)
  15. J.E.S. Socolar, P.J. Steinhardt. Phys. Rev. B 34, 2, 617 (1986)
  16. H.C. Jeong, P.J. Steinhardt. Phys. Rev. B 55, 6, 3520 (1997)
  17. И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. Наука, М. (1984). 432 с
  18. A.L. Mackay. J. Mol. Struct. (Theochem) 336, 2/3, 293 (1995)
  19. Современная кристаллография. В 4-х т. / Под ред. Б.К. Вайнштейна. Т. 1. Б.К. Вайнштейн. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. Наука, М. (1979). 384 с
  20. D. Mumford, C. Series, D. Wright. Indra's pearls. The vision of Felix Klein. Cambridge Univ. Press (2002). 395 p
  21. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. Т. 2. Геометрия и топология многообразий. Эдиториал УРСС, М. (2001). 296 с
  22. J.F. Sadoc, N. Rivier. Phil. Mag. 55, 5, 537 (1987)
  23. M. Kleman. Adv. Phys. 38, 6, 605 (1989)
  24. Ф. Груневальд, Й. Меннике, Ю. Эльстродт. Группы, действующие на гиперболическом пространстве: гармонический анализ и теория чисел. МЦНМО, М. (2003). 640 с
  25. Б.А. Долгих. Фундамент. и прикл матем. 13, 2, 117 (2007)
  26. В.А. Артамонов, С. Санчес. Сиб. матем. журн. 52, 6, 1221 (2011)
  27. D. Hilbert. Bull. AMS 8, 10, 437 (1902)
  28. Проблемы Гильберта / Под ред. П.С. Александрова. Исфара, Челябинск (2000). 238 с

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.